交流の複素数表示

複素数表示
今回のポイント
・複素数表示を使うと、計算が楽になる

・$j$をかけることは、1回微分することと同じだよ

・$j$は90°回転させるものだよ

・複素数平面は交流の”大きさ”と”位相”を表すために必要だよ

交流電圧$V = V_{m}sin(ωt+\theta)$は、$V = V_{m}\{cos(ωt+θ)+jsin(ωt+θ)\}$という複素数表示ができる。

くるる
くるる

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説明しよう

結論から言うと、なぜ複素数表示なんていうわけの分からないものを導入するのかというと、計算を楽にするためです!それだけです!何か他に深い理由があるとかそういうのではありません!

じゃあどうして計算が楽になるんだ?

ブラック
ブラック

電圧を微分する場合を考えてみましょう。複素数表示を使わなければ、

$$V’ = (V_{m}sin(ωt + \theta))’ = ωV_{m}cos(ωt + \theta)$$

となり、この場合は計算がまだ簡単ですが、三角関数の形が複雑になると、計算が困難になるのです。

眼鏡
眼鏡

確かに、三角関数の微分や積分は面倒な形になることが多いですね。

そこで、複素数表示を使うとこうなります。

$$V = V_{m}{cos(ωt + \theta) + jsin(ωt + \theta)} =V_{m}e^{j(ωt+\theta)}$$

ここで、電気回路においては”大きさ”と”初期位相”が大切なので、最大値$V_{m}$を大きさ(=実効値)$V_{0}$に置き換え、$\theta$の部分があればいいので$e^{jωt}$は省略してしまいましょう。

すると、$V = V_{0}e^{j\theta}$となり、これがいわゆるフェーザ表示というやつです。

そして、これを微分すると、$V’ = jV_{0}e^{j\theta}$になり、もとの式にjをかけた式になりました。

つまり、jをかけることと、1回微分することが同じ意味を持つということです。これは何回微分でも同じことです。

これだけでも複素数表示をすることで、いかに計算が楽になるかというのが理解できるかと思います。

「存在しない数」の虚数が使えるのはなぜ?どういう関係があるの?

これは虚数を「存在しない数」と考えるからマズイのです。存在しない数と考えるから、存在しない=現実のものではないと考えてしまうのです。違います。現実に存在するのです。”実数の範囲では”存在しないというだけです。

例えば、$V = jI$のとき、電圧は電流よりも位相が90°進んでいることが分かります。ここで$j$はどのような意味を持っているでしょうか?

そうです。「90°進ませる」です。複素数平面で言うと、「90°回転」です。

つまり、電気回路では$j$を「90°回転させるもの」だと考えればいいのです。存在するか存在しないかではなく、どのような”意味”を持っているかが重要なのです。

複素数平面にはどういう意味があるの?

直流は”大きさ”さえ分かればよかったので、1次元で良かったのですが、交流では”大きさ”と”位相”の2次元を考えなければなりません。

つまり、複素数平面という2次元空間を使うことで、交流の”大きさ”と”位相”の2次元を表していると考えればよいでしょう。

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