こんにちは!krです!今回は

単射・全射・全単射の違いが分からんわー!!!
と怒り狂う方たちのために「単射・全射・全単射」を簡単に説明しました。スラスラ読めると思うので、ぜひ最後までご覧ください!
単射とは?
単射とは簡単に言えば「1つだけから狙われている」関数のことです。
単射の例
例えば、$f(x)=x$という関数は単射です。次の図を見てください。

「1つだけから狙われている」というのは図のように「値域の値に伸びる定義域からの矢印が1つしかない」という意味です。
分かりやすいように定義域と値域を限定していますが、関数$f(x)=x$は実数全体で単射です。
単射でない例
関数$f(x)=x^2$は図のような定義域と値域で単射ではありません。

この図の場合、値域の$1$が「2つから狙われている」ので、単射ではないと分かります。
以上が単射の説明です。

全射とは?
全射は「全部狙われている」関数のことです。
全射の例
実は単射の例で紹介した$f(x)=x$という関数は全射でもあります。次の図を見てください。

「全部狙われている」というのは、図のように「値域の全ての値に定義域からの矢印が伸びている」ということです。
単射で説明したときは定義域に「$4$」が入っていなかったので、あちらの場合は全射ではありません。この辺のことは最後に詳しく書いてあります。
単射でない例
先ほど言ったように、関数$f(x)=x$は普通なら全射ですが、定義域、値域を図のように決めてしまうと全射ではなくなります。

また、関数$f(x)=2x$は次の図から分かるように整数全体で全射ではありません。


全射が何となく分かったっす~
全単射とは?
全単射は「全部が1つだけから狙われている」関数です。
まぁ名前の通り、「単射で全射な」関数ってだけですね。
全単射の例
何度も例に出している関数$f(x)=x$は実数全体で全単射です。

「全部が1つだけから狙われている」というのは、図のように、「値域の全ての値に定義域からの矢印が1つだけ伸びている」ということです。
簡単に言えば「1対1対応している」ということですね。
全単射でない例
関数$f(x)=x^2$は図のような定義域と値域で単射ではないと言いました。なのでもちろん全単射でもないです。

また、関数$f(x)=2x$は整数全体で全射ではない例として紹介しました。なのでこれも全単射ではありません。


なるほどねぇ~
定義域と値域によって変わる
ここまで読んでいると何となく分かっていると思いますが、関数が単射・全射・全単射であるかは定義域と値域によって変わります。
例えば、関数$f(x)=x^2$という関数は定義域と値域によって何にでもなります。

そのため、定義域と値域をちゃんと確かめておきましょう。

まとめ
今回の内容を簡単にまとめておきます。とにかく単射・全射・全単射の意味を理解することが大切です。
・単射は「1つだけから狙われている」関数
・全射は「全部狙われている」関数
・全単射は「全部が1つだけから狙われている」関数
・関数は定義域と値域によって単射か全射か全単射かが変化する