【離散数学】写像って何?簡単な例で解説!

写像

こんにちは!くるです!今回は

写像?写像って何だろうね。ハハハ……

と放心状態の方のために簡単に「写像」についてまとめてみました。短めなのでぜひ最後までご覧ください!

写像とは何か?

写像は簡単に言えば「2つの物事を結び付ける対応規則」のことです。

例えば、次のような集合$A$と集合$B$を考えてみましょう。

$$A=\{甘い, 可愛い, 大きい\}$$
$$B=\{猫, いちご, 飛行機\}$$

この2つの集合の対応関係は次の図のようになります。

この対応関係は「$A$の要素と関わりの深い$B$の要素を対応させる」というように決められており、この対応規則のことを「写像」と呼ぶのです。

だから、例えば逆に「関わりの浅いものを対応させる」という対応規則(写像)にすると、次の図のような対応関係になります。

もしかしたら「猫は甘い」、「飛行機は可愛い」、「いちごは大きい」と思う常人離れした思考をお持ちの方がいるかもしれませんが、それは無視しましょう。

これが「写像」の簡単な説明です!

先生
先生

写像の例

要素が数字に限るとき

実は集合の要素が数字に限るような写像のことを「関数」といいます。

例えば、$f(x)=x$という式は関数であり写像でもあります。定義域と値域を整数に限定すると、図のような対応関係があります。

このように関数も写像の1つなのです。

先生
先生

要素が数字に限らないとき

一般的に写像はどんな要素でも考えることが出来ます。

例えば、こんな風な対応関係でも大丈夫です。

この場合「1=りんご、2=ばなな、3=ぶどう」という対応規則が写像ですね。

つまり、写像って何でも良いんです。全く関係ない2つでも、その間に対応規則を作ればそれが写像になります。

写像でない例

何でも良いとは言いましたが、実は写像にならない場合もあるのです。

それは「写す前の要素が2つ以上の写した後の要素に対応してしまう」場合です。

つまりこういう場合は、この対応規則のことを写像とは呼べないのです。

ただ、「2つ以上の写す前の要素が写した後の要素に対応する」場合は大丈夫で、次のような対応規則はちゃんと写像です。

なので、「対応して良い要素は1つだけ」と覚えておきましょう!

先生
先生

「写像=像を写す」とは?

くるる
くるる

写像って「像を写す」って書くっすけど、どういう意味なんすか?

説明しましょう!まず、次の図を見てください。

これは「自分から自分へ」の写像です。この関係を「鏡に映った関係」と考えてみましょう。つまり、次の図のように考えるのです。

このとき、右側の集合$A$は鏡に映った自分です。つまり、「自分の像」なんです。

なので、鏡のように「自分の像を写す」という意味から「写像」と呼ばれるんです。

では、次のような「自分から自分へ」ではない写像はどうイメージすれば良いか?

これは鏡に何か変なフィルターが貼ってあると考えればいいでしょう。

写像の言葉の意味を説明するとこんな感じです。あくまでもこんなイメージというだけです。

まとめ

今回の重要なポイントを簡単にまとめました。写像は抽象的なので最初はなかなか理解できないと思いますが、何度も考えることでイメージが頭の中に構築されていくので、頑張りましょう!

・写像は「2つの物事を結び付ける対応規則」

・関数は「数字に限定した写像」のこと

・写像の要素は何でも良い

・「自分の像を写す」という意味で「写像」と呼ばれる

写像はその対応関係によって「単射・全射・全単射・なし」の4つに分類されます。単射・全射・全単射について詳しく知りたい方は以下の記事をご覧ください!

単射・全射・全単射

【離散数学】単射・全射・全単射の違いを分かりやすく解説!

お疲れ様でした!

先生
先生

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