留数定理とは？ 留数定理とは「閉曲線$C$に沿った周回線積分の値が、$C$内部の全ての 孤立特異点における留数の和に$2\pi i$をかけたものになる」という定理で、次のような公式で表されます。 留数定理の証明 まず、あ...

留数とは？ 留数とは簡単に言えば、「線積分しても$0$にならずに残る部分」です。 例えば、次のような式を考えましょう。 これは、ある関数$f(z)$がローラン展開された後の式です。 今、この式を適当な閉曲線$C$に沿って...

ローラン展開の簡単な説明 ローラン展開とは簡単に言えば、「関数を正のべき乗と負のべき乗の和になるように展開すること」です。例えば、関数$f(z)$を$f(z)=z^2+z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2...

コーシーの積分公式とは？ 話のスタート地点 さて、この記事を見ている方はすでに「コーシーの積分定理」というものを知っていると思います。 コーシーの積分定理とは「領域$D$内の全ての$z$において$f(z)$が正則ならば、...

コーシーの積分定理とは？ コーシーの積分定理とは一言で言えば「閉曲線$C$に沿った$f(z)$の線積分の値が$0$になるよ嬉しいね」という定理です。 簡単に説明しましょう。 簡単な説明 例えば、次のような図を考えましょう...

複素積分とは？ 複素積分は線積分 まず、しっかり覚えておいてほしいのですが、複素積分は「線積分」です。普通の積分と思ってると意味が分からなくなるので注意しましょう。 複素積分は次のような記法で表されます。$z$は複素数、...

導入 さて、コーシーリーマンの関係式の説明を始める前に、まずは「なぜコーシーリーマンの関係式というものを考えるのか」を説明しましょう。 今回の目的 今回の目的はずばり、「関数$f(z)$が点$z$で微分可能かどうかを調べ...