フーリエ級数展開の基本的な問題を5つ集めました。純粋に「フーリエ級数展開する」問題しかありません。
問1
$$\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 1 & ( -\pi \lt x \leq 0) \\ 0 & ( 0 \lt x \leq \pi) \end{cases} \end{eqnarray}$$
をフーリエ級数展開せよ。
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ 0 } dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \left[ x \right]_{-\pi}^0 \\
&=& 1 \end{eqnarray}$$
$$ \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)cosnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ 0 } cosnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n}sinnx \right]_{-\pi}^0 \\
&=& 0 \end{eqnarray}$$
$$ \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)sinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ 0 } sinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} cosnx \right]_{-\pi}^0 \\
&=& -\frac{1}{n \pi} \{ 1-cosn(-\pi) \} \\
&=& -\frac{1}{n \pi} (1-cosn\pi) \\
&=& -\frac{1}{n \pi} \{ 1-(-1)^n \} \\
&=& \frac{1}{n \pi} \{ (-1)^n-1 \} \\
&=& \begin{cases} 0 & (nが偶数) \\ -\frac{2}{n\pi} & (nが奇数) \end{cases}
\end{eqnarray}$$
$n=2k+1(k=0,1,2, \cdots)$とすると、$b_n=-\frac{2}{(2k+1)\pi}$
よって、
$$ \begin{eqnarray} f(x) &\sim& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_ncosnx+b_nsinnx) \\
&=& \frac{1}{2} – \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1}sin(2k+1)x \\
&=& \frac{1}{2} – \frac{2}{\pi} (sinx+\frac{1}{3}sin3x+\frac{1}{5}sin5x+\cdots) \end{eqnarray}$$
$k=0$は$\displaystyle \sum_{k=0}^0$、$k=3$は$\displaystyle \sum_{k=0}^3$であることを表しています。
問2
$$\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} -1 & ( -\pi \lt x \leq 0) \\ 1 & ( 0 \lt x \leq \pi) \end{cases} \end{eqnarray}$$
をフーリエ級数展開せよ。
$f(x)$は奇関数であるから、$a_0=0,a_n=0$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)sinnx dx $$
ここで、$f(x)sinnx$は偶関数であるから、
$$ \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{ \pi } f(x)sinnx dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} sinnx dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} cosnx \right]_{0}^{\pi} \\
&=& -\frac{2}{n \pi} ( cosn \pi-1 ) \\
&=& \frac{2}{n \pi} \{ 1-(-1)^n \} \\
&=& \begin{cases} 0 & (nが偶数) \\ \frac{4}{n\pi} & (nが奇数) \end{cases}
\end{eqnarray}$$
$n=2k+1(k=0,1,2, \cdots)$とすると、$b_n=\frac{4}{(2k+1)\pi}$
よって、
\begin{eqnarray} f(x) &\sim& \sum_{n=1}^{\infty} b_nsinnx \\
&=& \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} sin(2k+1)x \\
&=& \frac{4}{\pi} (sinx+\frac{1}{3}sin3x+\frac{1}{5}sin5x+\cdots)
\end{eqnarray}
$k=0$は$\displaystyle \sum_{k=0}^0$、$k=3$は$\displaystyle \sum_{k=0}^3$であることを表しています。
問3
$$\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 0 & ( -\pi \lt x \leq 0) \\ x & ( 0 \lt x \leq \pi) \end{cases} \end{eqnarray}$$
をフーリエ級数展開せよ。
$$ \begin{eqnarray} a_0 &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} xdx \\
&=& \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\pi} \\
&=& \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$$
$$ \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)cosnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} xcosnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \left( \frac{1}{n}sinnx \right)’ dx \\
&=& \frac{1}{\pi}(\left[ \frac{1}{n}xsinnx \right]_{0}^{\pi}-\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} sinnx dx) \\
&=& -\frac{1}{n\pi} \left[ -\frac{1}{n}cosnx \right]_{0}^{\pi} \\
&=& \frac{1}{n^2 \pi}(cosn\pi-1) \\
&=& \frac{1}{n^2 \pi} \{ (-1)^n-1 \} \end{eqnarray}$$
$$ \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)sinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} xsinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \left( -\frac{1}{n}cosnx \right)’ dx \\
&=& \frac{1}{\pi}(\left[ -\frac{1}{n}xcosnx \right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} cosnx dx) \\
&=& \frac{1}{\pi} ( -\frac{\pi cosn\pi}{n}+\frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n}sinnx \right]_{0}^{\pi}) \\
&=& -\frac{cosn\pi}{n} \\
&=& -\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$$
よって、
$$ \begin{eqnarray} f(x) &\sim& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_ncosnx+b_nsinnx) \\
&=& \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{(-1)^n-1}{n^2 \pi}cosnx-\frac{(-1)^n}{n} sinnx )\\
&=& \frac{\pi}{4}+(-\frac{2}{\pi}cosx+sinx-\frac{1}{2}sin2x-\frac{2}{9 \pi}cos3x+\frac{1}{3}sin3x-\cdots) \end{eqnarray}$$
$n=1$は$\displaystyle \sum_{n=1}^1$、$n=3$は$\displaystyle \sum_{n=1}^3$であることを表しています。
問4
$$f(x) = x \ ( -\pi \lt x \leq \pi)$$
をフーリエ級数展開せよ。
$$\begin{eqnarray}
b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)sinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} xsinnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \left( -\frac{1}{n}cosnx \right)’ dx \\
&=& \frac{1}{\pi}( \left[ -\frac{1}{n}xcosnx \right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} cosnx dx) \\
&=& \frac{1}{\pi} \left( -\frac{1}{n} \{ \pi cosn\pi+\pi cosn(-\pi) \} +\frac{1}{n} [ \frac{1}{n}sinnx ]_{-\pi}^{\pi} \right) \\
&=& \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{2\pi cosn\pi}{n} \right) \\
&=& -\frac{2cosn\pi}{n} \\
&=& \frac{2(-1)^{n+1}}{n}
\end{eqnarray}$$
よって、
$$\begin{eqnarray} f(x) &\sim& \sum_{n=1}^{\infty} b_nsinnx \\
&=& 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}sinnx \\
&=& 2 \left( sinx-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{3}sin3x+ \cdots \right) \end{eqnarray}$$
$n=1$は$\displaystyle \sum_{n=1}^1$、$n=3$は$\displaystyle \sum_{n=1}^3$であることを表しています。
問5
$$f(x) = |x| \ ( -\pi \lt x \leq \pi)$$
をフーリエ級数展開せよ。
$f(x)$は偶関数であるから、$b_n=0$
$$ \begin{eqnarray} a_0 &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\pi} \\
&=& \pi \end{eqnarray}$$
$$ \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{ \pi } f(x)cosnx dx \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x|cosnx dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} xcosnx dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \left( \frac{1}{n}sinnx \right)’ dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \left( \left[ \frac{1}{n}xsinnx \right]_{0}^{\pi}-\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} sinnx dx \right) \\
&=& -\frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{1}{n}cosnx \right]_{0}^{\pi} \\
&=& \frac{2}{n^2 \pi}(cosn\pi-1) \\
&=& \frac{2}{n^2 \pi} \{ (-1)^n-1 \} \\
&=& \begin{cases} 0 & (nが偶数) \\ -\frac{4}{n^2 \pi} & (nが奇数) \end{cases}
\end{eqnarray}$$
$n=2k+1(k=0,1,2, \cdots)$とすると、$b_n=-\frac{4}{(2k+1)^2 \pi}$
よって、
$$ \begin{eqnarray} f(x) &\sim& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosnx \\
&=& \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}cos(2k+1)x \\
&=& \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \left( cosx+\frac{1}{3^2}cos3x+\frac{1}{5^2}cos5x+ \cdots \right) \end{eqnarray}$$
$k=0$は$\displaystyle \sum_{k=0}^0$、$k=3$は$\displaystyle \sum_{k=0}^3$であることを表しています。
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