【離散数学】単射・全射・全単射の違いを分かりやすく解説!

単射・全射・全単射

こんにちは!くるです!今回は

単射・全射・全単射の違いが分からんわー!!!

と怒り狂う方たちのために「単射・全射・全単射」を簡単に説明しました。スラスラ読めると思うので、ぜひ最後までご覧ください!

単射とは?

単射とは簡単に言えば「1つだけから狙われている」関数のことです。

単射の例

例えば、$f(x)=x$という関数は単射です。次の図を見てください。

「1つだけから狙われている」というのは図のように「値域の値に伸びる定義域からの矢印が1つしかない」という意味です。

分かりやすいように定義域と値域を限定していますが、関数$f(x)=x$は実数全体で単射です。

単射でない例

関数$f(x)=x^2$は図のような定義域と値域で単射ではありません。

この図の場合、値域の$1$が「2つから狙われている」ので、単射ではないと分かります。

以上が単射の説明です。

先生
先生

全射とは?

全射は「全部狙われている」関数のことです。

全射の例

実は単射の例で紹介した$f(x)=x$という関数は全射でもあります。次の図を見てください。

「全部狙われている」というのは、図のように「値域の全ての値に定義域からの矢印が伸びている」ということです。

単射で説明したときは定義域に「$4$」が入っていなかったので、あちらの場合は全射ではありません。この辺のことは最後に詳しく書いてあります。

単射でない例

先ほど言ったように、関数$f(x)=x$は普通なら全射ですが、定義域、値域を図のように決めてしまうと全射ではなくなります。

また、関数$f(x)=2x$は次の図から分かるように整数全体で全射ではありません。

くるる
くるる

全射が何となく分かったっす~

全単射とは?

全単射は「全部が1つだけから狙われている」関数です。

まぁ名前の通り、「単射で全射な」関数ってだけですね。

全単射の例

何度も例に出している関数$f(x)=x$は実数全体で全単射です。

「全部が1つだけから狙われている」というのは、図のように、「値域の全ての値に定義域からの矢印が1つだけ伸びている」ということです。

簡単に言えば「1対1対応している」ということですね。

全単射でない例

関数$f(x)=x^2$は図のような定義域と値域で単射ではないと言いました。なのでもちろん全単射でもないです。

また、関数$f(x)=2x$は整数全体で全射ではない例として紹介しました。なのでこれも全単射ではありません。

ポンタ
ポンタ

なるほどねぇ~

定義域と値域によって変わる

ここまで読んでいると何となく分かっていると思いますが、関数が単射・全射・全単射であるかは定義域と値域によって変わります

例えば、関数$f(x)=x^2$という関数は定義域と値域によって何にでもなります。

そのため、定義域と値域をちゃんと確かめておきましょう。

先生
先生

まとめ

今回の内容を簡単にまとめておきます。とにかく単射・全射・全単射の意味を理解することが大切です。

・単射は「1つだけから狙われている」関数

・全射は「全部狙われている」関数

・全単射は「全部が1つだけから狙われている」関数

・関数は定義域と値域によって単射か全射か全単射かが変化する

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