こんにちは！krです！
今回は「二項関係」について簡単に説明していきます。数式を出来るだけ省いて、身近な例を用いて説明するので、簡単に理解できると思います！
二項関係とは？
二項関係とは「ある２つの事柄の間の関係」のことをいいます。まさに「二項」の「関係」ってわけです。
ここでの「関係」とは日常で使う意味と同じです。
二項関係の簡単な例
教科書にはよくわからん数式ばっかり書いてあるかもしれませんが、二項関係は身近な例を使って考えるのが一番分かりやすいです。
例えば、次のような人物の集合$A$と果物の集合$B$を考えましょう。
$$B=\{イチゴ, みかん, りんご, メロン\}$$
佐藤君は「イチゴ」が好きで、鈴木君は「みかんとメロン」が好き、高橋君は「イチゴとりんご」が好きだとします。
すると、「好きな果物」についてまとめた次のような集合を作ることが出来ます。
このとき、この集合は人物の集合$A$と果物の集合$B$の関係についてまとめたものであり、この集合全体のことを「$A$から$B$への二項関係」と言います。
今回の二項関係は特に「好きな果物」についての二項関係です。
別の例を見てみましょう。
例えば、佐藤君は「みかん」が嫌いで、鈴木君は「りんご」が嫌い、高橋君は「みかんとメロン」が嫌いだとします。
すると、「嫌いな果物」についてまとめた次のような集合を作ることが出来ます。
これも$A$から$B$への二項関係で、特に「嫌いな果物」についての二項関係です。
つまり、「どういう条件でまとめるかによって二項関係は変わる」ってことっすか？
その通り！
なので、他にも「最近食べた果物」についての二項関係や、「好きでも嫌いでもない果物」についての二項関係なども考えることが出来ます。
そして、例えば (佐藤, イチゴ) という関係は「好きな果物」という条件のもとの関係であることから、「佐藤とイチゴは好きな果物の関係にある」という言い方をします。
$A$上の二項関係
上の例では「$A$から$B$への二項関係」だけを説明しましたが、「$A$から$A$への二項関係」もあり、これを「$A$上の二項関係」と呼んだりします。
例えば、人物の集合$A$を次のようなものに変更します。
$$A=\{佐藤, 鈴木, 高橋, 田中\}$$
そして「嫌いな人」という条件のもとの二項関係が次のようになるとします。
これが「嫌いな人」という条件のもとの「$A$上の二項関係」です。
実は$(〇, 〇)$という括弧のことを順序対といいます。順序対は普通の集合と違って「順番に意味がある」集合で、左側の要素が先で、右側の要素が後です。
そのため、(佐藤, 鈴木)と(鈴木, 佐藤)というのは全く異なるもので、それぞれ「佐藤の嫌いな人は鈴木」、「鈴木の嫌いな人は佐藤」という意味を持つことに注意してください。
「直積$A \times B$の部分集合を$A$から$B$への二項関係と呼ぶ」とは？
多分教科書にはこんな書き方がされていると思うのですが、正直意味分からないですよね。
実はこれ「$A$から$B$への二項関係は直積$A \times B$の部分集合になるよ」って意味なんです。
つまり、以下のような集合$A, B$があり、
$$A=\{佐藤, 鈴木, 高橋\}$$
$$B=\{イチゴ, みかん, りんご, メロン\}$$
「好きな果物」についての$A$から$B$への二項関係が次のようになっているとしたら、
この順序対の集合は直積$A \times B$の部分集合だよねってことです。
でも、それがどうしたの？
そうなんです。「$A$から$B$への二項関係は直積$A \times B$の部分集合になるよ」って分かったところでそれがどうしたって話なんです。
でも、重要なのはそこじゃなくて、逆に「直積$A \times B$の部分集合にならないなら$A$から$B$への二項関係ではない」ことが重要なのです。
例えば、次のような二項関係があるとしましょう。
「ぶどう」は果物の集合$B$の中に含まれていません。なので、この順序対の集合は直積$A \times B$の部分集合になっているはずがありません。
だからこの二項関係は「$A$から$B$への二項関係にはならない」ということが言えるのです。
したがって、「直積$A \times B$の部分集合を$A$から$B$への二項関係と呼ぶ」というのは、「$A$から$B$への二項関係は直積$A \times B$の部分集合になるよ。逆に、部分集合じゃないなら$A$から$B$への二項関係じゃないよ」という意味があるのです。
まとめ
今回の重要なポイントをまとめておきます。離散数学は今回のように身近な例で考えた方が分かりやすい場合が多く、身近な例で考える練習をしておくと、理解が捗ると思います。
お疲れ様でした！
・二項関係とは「ある２つの事柄の間の関係」のこと
・どういう条件でまとめるかによって二項関係は変わる
・「$A$から$A$への二項関係」を「$A$上の二項関係」と呼ぶ