こんにちは！krです！今回は
写像？写像って何だろうね。ﾊﾊﾊ……
と放心状態の方のために簡単に「写像」についてまとめてみました。短めなのでぜひ最後までご覧ください！
写像とは何か？
写像は簡単に言えば「２つの物事を結び付ける対応規則」のことです。
例えば、次のような集合$A$と集合$B$を考えてみましょう。
$$B=\{猫, いちご, 飛行機\}$$
この２つの集合の対応関係は次の図のようになります。
この対応関係は「$A$の要素と関わりの深い$B$の要素を対応させる」というように決められており、この対応規則のことを「写像」と呼ぶのです。
だから、例えば逆に「関わりの浅いものを対応させる」という対応規則（写像）にすると、次の図のような対応関係になります。
もしかしたら「猫は甘い」、「飛行機は可愛い」、「いちごは大きい」と思う常人離れした思考をお持ちの方がいるかもしれませんが、それは無視しましょう。
これが「写像」の簡単な説明です！
写像の例
要素が数字に限るとき
実は集合の要素が数字に限るような写像のことを「関数」といいます。
例えば、$f(x)=x$という式は関数であり写像でもあります。定義域と値域を整数に限定すると、図のような対応関係があります。
このように関数も写像の１つなのです。
要素が数字に限らないとき
一般的に写像はどんな要素でも考えることが出来ます。
例えば、こんな風な対応関係でも大丈夫です。
この場合「1＝りんご、2＝ばなな、3＝ぶどう」という対応規則が写像ですね。
つまり、写像って何でも良いんです。全く関係ない２つでも、その間に対応規則を作ればそれが写像になります。
写像でない例
何でも良いとは言いましたが、実は写像にならない場合もあるのです。
それは「写す前の要素が２つ以上の写した後の要素に対応してしまう」場合です。
つまりこういう場合は、この対応規則のことを写像とは呼べないのです。
ただ、「２つ以上の写す前の要素が写した後の要素に対応する」場合は大丈夫で、次のような対応規則はちゃんと写像です。
なので、「対応して良い要素は1つだけ」と覚えておきましょう！
「写像＝像を写す」とは？
写像って「像を写す」って書くっすけど、どういう意味なんすか？
説明しましょう！まず、次の図を見てください。
これは「自分から自分へ」の写像です。この関係を「鏡に映った関係」と考えてみましょう。つまり、次の図のように考えるのです。
このとき、右側の集合$A$は鏡に映った自分です。つまり、「自分の像」なんです。
なので、鏡のように「自分の像を写す」という意味から「写像」と呼ばれるんです。
では、次のような「自分から自分へ」ではない写像はどうイメージすれば良いか？
これは鏡に何か変なフィルターが貼ってあると考えればいいでしょう。
写像の言葉の意味を説明するとこんな感じです。あくまでもこんなイメージというだけです。
まとめ
今回の重要なポイントを簡単にまとめました。写像は抽象的なので最初はなかなか理解できないと思いますが、何度も考えることでイメージが頭の中に構築されていくので、頑張りましょう！
写像はその対応関係によって「単射・全射・全単射・なし」の４つに分類されます。単射・全射・全単射について詳しく知りたい方は以下の記事をご覧ください！
お疲れ様でした！
・写像は「２つの物事を結び付ける対応規則」
・関数は「数字に限定した写像」のこと
・写像の要素は何でも良い
・「自分の像を写す」という意味で「写像」と呼ばれる