【離散数学】べき集合って何?分かりやすく解説します!

こんにちは!くるです!今回は

べき集合が分からん!!

と嘆く方のために、分かりやすく「べき集合」について解説します。そんなに長くないので、ぜひ最後までご覧ください!

べき集合とは?

べき集合は一言で言えば「ある集合$X$の部分集合を全て集めた集合」のことです。

まずは簡単な例を見てべき集合の意味を理解しましょう。

べき集合の簡単な例

例えば、$X=\{0,1\}$という集合を考えます。

この集合の部分集合は$\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}$の4つです。

そしてべき集合はこの部分集合を全て集めた集合ですから、

$$\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$$

という集合が$X=\{0,1\}$のべき集合です。

なるほどっす!

空集合「$\emptyset$」を忘れがちなので注意しましょう!

先生
先生

これがべき集合です。とにかく「部分集合を全て拾い上げて1つの集合を作る」ということを覚えておきましょう。

べき集合の要素の数

べき集合の要素の数は必ず「$2$のべき乗個」になっています。これが”べき“集合と呼ばれる理由です。次の表を見ると分かると思います。

$X=\emptyset$のべき集合が少し特殊なので注意してください。

べき集合の表し方

集合$X$のべき集合は$2^X$という表し方をします。

ここで、「$2^X$?指数が集合のべき乗ってどうやって計算するの???」と思うと思いますが、違います。

この$2^X$は我々が良く知っている「$2$の$X$乗」という意味ではなく、「$X$のべき集合を$2^X$と表すよ!」と決めてあるだけなのです。

ではなぜ$2^X$と表すのかと言うと、先ほど説明したように要素数が「$2$のべき乗個」になるからです。

あんまり深い意味を考える必要はありません。

先生
先生

例えば、$X=\{0,1\}$のべき集合の場合、$2^X=\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$と書きます。

また、$2^{\{0,1\}}$を計算せよと言われたら、$2^{\{0,1\}}=\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$というように書くのです。

べき集合のべき集合

少し難しい例として「べき集合のべき集合」があります。例えば次のようなものです。

$$2^{2^{\{0,1\}}}$$

この問題の解き方を説明します。

ステップ1 指数部分のべき集合を計算する

指数の$2^{\{0,1\}}$というべき集合を最初に計算します。

$$2^{\{0,1\}}=\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$$

です。

ステップ2 ステップ1で求めた集合の部分集合を全て書き出す

集合$\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$の部分集合を全て書き出します。アホみたいに面倒くさいですが頑張りましょう。

$\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}$の4つが要素だとしっかり理解するのが大切です。$\{0\}$で1つの要素です。

部分集合を要素数ごとにまとめたものが次の表になります。

くるる
くるる

なんすかこれ…

1つ1つしっかりと確認しておきましょう!

先生
先生

ステップ3 ステップ2で求めた部分集合を全て集めた集合を作る

ステップ2の結果より、$2^{2^{\{0,1\}}}$は以下のようになります。

まとめ

簡単に最後に要点をまとめておきます。ここに書いてあることを全て覚えておけばテストはバッチリです!

・べき集合は「ある集合$X$の部分集合を全て集めた集合」のこと

・$X=\{0,1\}$のべき集合は$\{\emptyset, \{0\}, \{1\},\{0,1\}\}$

・べき集合の要素数は「$2$のべき乗個」

・集合$X$のべき集合は$2^X$と表される

お疲れ様でした!

先生
先生

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