【全加算器】真理値表から出力の論理式を求める方法を分かりやすく解説!

全加算器出力の論理式

こんにちは!くるです!

今回は「全加算器の真理値表から出力の論理式を導く方法」について、図を使いながら詳しく解説していこうと思います!

真理値表から出力の論理式を導く

全加算器の真理値表

まず、初めに全加算器の真理値表は次の図のようになります。

$C_{i}$, $C_{o}$の「i」は「in」、「o」は「out」の頭文字です。

くるる
くるる

何で「in」「out」なんすか?

$C_{i}$は「前の全加算器からの入力」、$C_{o}$は「次の全加算器への出力」であるからです。

先生
先生

カルノー図を使って出力の論理式を求める

出力$S$と$C_{o}$が1のときを色で塗って分かりやすくしたのが下図です。

このとき、それぞれの出力と入力の対応は次の図のようになっています。

このまま、

$$S=\bar{A}\bar{B}C_{i}+\bar{A}B\bar{C_{i}}+A\bar{B}\bar{C_{i}}+ABC$$

$$C_{o}=\bar{A}BC_{i}+A\bar{B}C_{i}+AB\bar{C_{i}}+ABC_{i}$$

としたくなる気持ちも分かるのですが、その前にカルノー図を使って簡単化できないかを調べておかなければなりません。

カルノー図が良く分からない人は先にこちらの「カルノー図ってどんな図?どうやって書くの?図で分かりやすく解説しました!」の記事をご覧ください。

$S$を簡単化する

先ほどの真理値表から$S$のカルノー図を書くと次のようになります。

このカルノー図では、どこも囲めるところがないため、これ以上簡単化はできません

よって、

$$S=\bar{A}\bar{B}C_{i}+\bar{A}B\bar{C_{i}}+A\bar{B}\bar{C_{i}}+ABC_{i}$$

となります。

$C_{o}$を簡単化する

同じように、$S$のカルノー図を書くと次のようになります。

この図から、赤、青、緑のグループごとに論理式を簡単化すれば、

$$C_{o}=\bar{A}BC_{i}+A\bar{B}C_{i}+AB\bar{C_{i}}+ABC_{i}=AB+BC_{i}+C_{i}A$$

と簡単化されることが分かります。

よって、出力の論理式は次のようになります。

出力の論理式

$$S=\bar{A}\bar{B}C_{i}+\bar{A}B\bar{C}+A\bar{B}\bar{C}+ABC$$

$$C_{o}=\bar{A}BC_{i}+A\bar{B}C_{i}+AB\bar{C_{i}}+ABC_{i}=AB+BC_{i}+C_{i}A$$

今回はここまで!

最後まで読んで頂きありがとうございました!

先生
先生
全加算器回路図編
半加算器真理値表

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