逆行列の求め方やなぜ求まるのかを分かりやすく解説!

分かりやすい逆行列

逆行列って意味分かんないですよね~。見た目全然違うのに何が「逆」なんですかね?とお思いの方もいらっしゃるでしょう。今回はそんな逆行列を詳しく解説していきます!

逆行列とは?

定義

ある$n$次正方行列$A$があるとき、

$$AB = BA = E_{n}$$

となるような$n$次正方行列$B$を$A$の逆行列といい、その名の通り「行列Aの逆」という意味で$B = A^{-1}$と書く。

また、逆行列を持つような行列のことを正則行列と言ったりします。

定義をしっかり覚えましょう

眼鏡
眼鏡

定義の意味を解説

例えば、3次正方行列

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 &1 &3 \end{bmatrix}$$

を行列$A$とします。

さて、逆行列の定義は「$AB = AA^{-1} = E_{n}$」でした。

つまり、「行列$A$と何らかの行列$B$の積が単位行列となるとき、その行列を逆行列$A^{-1}$と呼ぶ」のです。

図にしてみるとこんな感じ

ここからはどうやって逆行列を求めるのかを説明していきます。

逆行列の計算方法

逆行列の計算方法は最初は何か凄く気持ち悪い感じがしますが、だんだん慣れます(^ω^)

例えば、$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 &1 &3 \end{bmatrix}$$の逆行列を求めてみましょう。

【ステップ1】右側に単位行列を連結させる

図のように、逆行列を求めたい行列に単位行列を連結させた新しい行列を作ります。

「いきなり何それ?」と思うかもしれませんが耐えてください。一通り見れば分かるようになります。

【ステップ2】簡約化する

行列全体を簡約化します。連結した単位行列も一緒に簡約化することに注意してください。

【ステップ3】左側の単位行列を分離する

\begin{bmatrix} 9 & 2 & -6 \\ -6 & -1 & 4 \\ -4 & -1 & 3 \end{bmatrix}

これが元の行列の逆行列です。

計算方法はこんな感じで、覚えてしまえば簡単に計算できるようになると思います。

なぜ逆行列が求まるのか?

何でこんな計算で逆行列が求まるのか分からないよ~(泣)

そんな方も多いかと思いますので、詳しく解説しましょう!

行基本変形は行列の掛け算で表される

まずは、先にここの内容を理解してください。

実は、行基本変形行列の掛け算で表すことが出来るのです。例えば、

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 &1 &3 \end{bmatrix}$$

という行列の「1行目を2倍する」という行基本変形を考えてみましょう。この行基本変形は、

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

左から掛けることと同じなのです。実際に計算してみると、

となり、「1行目を2倍する」という行基本変形と同じになっていることが分かります。

このように、行基本変形は単位行列を少し変形した行列を左から掛けることと同じなのです。

このことについてさらに詳しく知りたい方はこちらの「行基本変形のやり方や掛け算での表し方を簡単に解説!」の記事をご覧ください!(*’ω’*)

逆行列が求まる理由

さて、先ほどの行列を見てみましょう。

左の行列から右の行列にするために以下のような行基本変形がなされました。

逆行列を求めたい行列を「左側の行列」、その行列に連結した単位行列を「右側の行列」として、それぞれ別々に上図の行基本変形を行います。

行基本変形は行列の掛け算で表せるわけでしたから、次のように考えることが出来ます。

「右側の行列の式」に注目してほしいのですが、この式って、

という風に考えることが出来ますよね?

実際に左側の行列の式」に「右側の行列の式」を代入すると、(左側の行列に単位行列を掛けたのは代入できるようにするためです)

となり、5つの行基本変形を加える演算子となっていることが分かります。

つまりまとめると、

「逆行列を求めたい行列$A$に行基本変形を加えて単位行列にする」

⇒「別の単位行列に同じ行基本変形を加えると行列$B$ができる」

⇒「行列$B$は行基本変形を加える演算子と考えられる」

⇒「行列Aに行列Bを掛けると単位行列になる」

となるので、「逆行列を求めたい行列に単位行列を連結した行列全体を簡約化すると逆行列を求められる」というわけです。

ご理解いただけたでしょうか?ちょっと分かりにくいかもしれません(´;ω;`)

逆行列ができないパターン

正方行列じゃないとき

正方行列とは「行と列の数が同じ」行列のことで、正方行列でない行列には逆行列がありません。

行列式が0になるとき

図のように行列式が0になる行列にも逆行列はありません。

この2パターンが逆行列のない行列ですが、そもそもこんな行列の逆行列を考えるということはないと思うのであんまり考えなくていいと思います。

最後に:とりあえず計算方法を覚えましょう!

逆行列は何よりもまず計算方法をしっかりと覚えるようにしましょう!

どうして逆行列が求まるのかとかは解けるようになってから理解しても大丈夫です。

ブラック
ブラック

最後まで読んでくれてありがとよ!

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