【離散数学】論理包含(pならばq)の真理値表の意味を理解しよう!

論理包含

こんにちは!くるです!

今回は

pならばqの真理値表が分かんないよ~~(泣)

という方のために、pならばq、つまり「論理包含の真理値表の意味」について詳しく解説していきます!

論理包含とは?

論理包含は知っての通り「ならば」という意味があります。

ある2つの命題$p$と$q$があったとき、「pならばq」という文章は「ならば」を表す記号「$\to$」を使い、

$$p \to q$$

と書かれます。今回はこの論理式の真理値表について考えていくわけです。

前提と結論

さて、論理包含の真理値表について考える前に理解しておかなければならない「前提と結論」について説明します。

$p \to q$という論理式において、$p$は「前提」、$q$は「結論」と呼ばれます。

くるる
くるる

どうしてそんな呼び名が付いてるんすか?

日本語の意味で考えてみましょう!

先生
先生

例えば、「$p$ ならば $q$」という文章は普通に考えたら、「$p$が正しいならば、$q$である」という意味の文章だと理解できますよね?

このとき、$p$は$q$が成り立つための「前提条件」になっています。そして$p$が成り立つならば$q$が成り立つという「結論」が導かれます。

そのため、$p$は「前提」、$q$は「結論」と呼ばれるのです。

この「前提」と「結論」が今回のキーポイントです!

先生
先生

論理包含の真理値表

それでは論理包含の真理値表について考えていきましょう。

論理包含の真理値表は次のようになります。

で、恐らくこの真理値表が良く分からないって人は多分$p$とか$q$とかを記号のまま意味を考えようとしているんだと思います。

僕も習いたての頃はそれで理解しようとしていたのですが、全然理解できませんでした。どうしてもなんか引っかかるんですよね。

じゃあどうすればいいかと言うと、実際に$p$とか$q$を日常生活に置き換えて考えてみればいいのです。

例えば、お母さんに「ゲームばっかりしてないで、勉強しなさい!」と言われ、「あと1回勝ったらゲームを止める」と言ったとしましょう。

このとき「あと1回勝つ」という命題が前提$p$で、「ゲームを止める」という命題が結論$q$です。

この具体例を基に論理包含の真理値表の意味を考えてみましょう。

$p=F, q=F$の場合

この場合$p \to q$という論理式は「あと1回勝っていない、ならば、ゲームを止めない」という文になります。

これは「あと1回勝ってないからゲームを止めない」という意味になります。

この文章は間違いなく正しいはずです。

だって元々「あと1回勝ったらゲームを止める」という約束だったので、まだ1回勝ってないならゲームを止めなくてもいいはずです。

なので、$p=F, q=F$のとき$p \to q$は「真」になります。

言い換えたら「前提が偽」、「結論が偽」のときは論理包含は「真」になります。

ポンタ
ポンタ

これは簡単に理解できるね♪

$p=F, q=T$の場合

この場合$p \to q$という論理式は「あと1回勝っていない、ならば、ゲームを止める」という文になります。

あまり意味の分からない文ですが、「あと1回勝ってないけどゲームを止める」というような意味を持つと考えられると思います。

この文章も間違いなく正しいはずです。

だって「あと1回勝ったら止める」と決めただけで、「勝つまで止めれない」というわけではありませんからね。

なので、$p=F, q=T$のときも、$p \to q$は「真」になります。

言い換えたら「前提が偽」、「結論が真」のときは論理包含は「真」になります。

くるる
くるる

これも簡単に理解できるっす!

$p=T, q=F$の場合

問題はこいつです。

この場合$p \to q$という論理式は「あと1回勝った、ならば、ゲームを止めない」という文になります。

自然な文に直せば「あと1回勝ったけど、ゲームを止めない」という意味になります。

これは正しいわけがありません

「あと1回勝ったらゲームを止める」というお母さんとの約束を破り、ゲームの誘惑に負けてしまったのですから。

このように$p=T, q=F$のときは$p \to q$は「偽」になるのです。

言い換えたら「前提が真」、「結論が偽」のときは論理包含は「偽」になるということです。

ここがポイントです!

先生
先生

$p=T, q=T$の場合

この場合$p \to q$という論理式は「あと1回勝った、ならば、ゲームを止める」という文になり、これは「あと1回勝ったらゲームを止める」という意味になります。

これはもちろん正しいです。

だって、ちゃんと「あと1回勝ったらゲームを止める」という約束を守ったのですから。

なので、$p=T, q=T$のときは、$p \to q$は「真」になります。

言い換えたら「前提が真」、「結論が真」のときは論理包含は「真」になります。

最後に

書いていて思ったのですが、「$p$ならば$q$」が最初は全く意味が分からなかったのに、今では何が分からなかったのかが良く分からなくなっています

僕は先ほども申し上げた通り、習いたての頃は「$p$ならば$q$」の意味を記号で考えていました。だから、「$p$が$F$で$q$が$T$なら、$p$→$q$は$T$ってどういうことだよ!!」とか思ってたのです。

なぜ記号で考えてしまうかと言うと、他の論理記号が記号で考えればうまくいくからだと思うんですよね。

$p$または$q$」だったら、$p=T, q=T$のときに$T$になるというのは何となく分かります。

$p$かつ$q$」だったら、$p=T, q=F$のときに$F$になるというのも何となく直感的に分かります。

でも「$p$ならば$q$」は$p=F, q=T$のときに$T$になるというのは全く直感では理解できないのです。前提が偽であるという場合が理解できないのでしょうか。

なので、「$p$ならば$q$」は今回やったように実際に$p$や$q$に文章を対応させて考えるのが一番です。というか論理を考えるときは大体実際に文章を対応させて考えるべきですね。

すると、しばらくたてば僕と同じように何が分からないのか分からないみたいな状態になると思いますよ。

お疲れ様でした!

先生
先生

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