行列式とは?成り立ちや計算方法を丁寧に解説!

行列式
眼鏡
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中々ヘビーな内容なので、所々読み飛ばして見るのがいいでしょう。

行列式の成り立ち

始まりは連立方程式

行列式の始まりは「連立方程式」です。

数百年昔、数学者たちの関心は連立方程式を解くことにありました。1次や2次なら簡単に解を導けますが、3次4次と高次になるにつれ、解は複雑になり、そもそも解けるのかどうかさえも分からなくなってしまいます。

それをどうにかしたかったのです。何か連立方程式の解を簡単に導ける方法を見つけるというのが、当時の数学者たちの悲願だったのです。

そこで、連立方程式の解に何か法則性はないか考えました。すると、ある新しい概念を導入すれば、連立方程式の解をうまく説明できることに気づきました

その新しく導入された概念こそが、今回の主役「行列式」です。

連立方程式の一般解

では、まずは連立方程式の一般解がどのようなものになるかを見ていきましょう。ここは軽く読んで大丈夫です。

2元連立方程式

2元連立方程式の一般形は以下のようなものです。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} = b_{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

この連立方程式の解は、

となります。

3元連立方程式

3元連立方程式の一般形は以下のようなものです。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = b_{2} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = b_{3} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

この連立方程式の解は、

となります。3元の時点でかなり面倒くさい形になっていますね。

「行列式」誕生

さて、先ほどは連立方程式の一般解を見てもらいましたが、何とも複雑な形をしていますよね?これには昔の数学者たちも

もう少し簡単な形で表せないだろうか。。。

と困ってしまいました。

ここでようやく「行列式」の登場です。

次の内容はあまり考える必要はなく、「へ~そうなんだ~」程度で読んでください。ちゃんと読むのは面倒くさいと思いますので。

2元連立方程式の場合

2元連立方程式の解は以下のようなものでした。

さて、この分母の式が少し鬱陶しいので、次のような係数を並べた行列みたいなもので書き表すことにしましょう。

この

が「行列式」といわれているやつです。行列式の計算方法はのちほど説明しますので、今のところはこのような式が成り立つものだと思ってください。

さて、このような式が成り立つとすると、以下のようなものも考えることが出来ます。

すると、気づいている人もいるかもしれませんが、行列式を使うと、

このように連立方程式の解を行列式だけの形で表すことが出来るのです。2元連立方程式だと、あんまり簡単になった気がしませんが、次の3元連立方程式を見ると、感動すると思いますよ(*’ω’*)

3元連立方程式の場合

3元連立方程式の解は次のようなものでした。

こんな具合に、3元連立方程式の解はウザいくらい複雑で書くのも面倒です。もっと簡単に書けないでしょうか。。。

ということで、先ほどと同じように、分母の式を行列みたいなもので表すことにしましょう!

こんな感じ。この

も先ほどと同じ「行列式」です。これの計算方法ものちほど説明します。

さて、このような式が成り立つと考えると、先ほどと同じように、

という風に書くことが出来ますので、そうすると3元連立方程式の解は

と書くことが出来ます。どうです?かなりコンパクトになったと思いませんか?しかもこの書き方なら、記号を順番通りに並べるだけなので、覚えるのもめちゃくちゃ簡単です(^ω^)

このような、連立方程式の解を簡単に書くことが出来るものが行列式なのです。

お次は行列式の計算方法を見ていくっすよ~~~!!

くるる
くるる

行列式の計算方法

行列式の計算方法はかなり特殊です。というか、連立方程式の解の分母の形と同じ形になるように定義されているので、「こういうもんなんだ」と思うしかありません。

あと、注意してほしいのですが、行列式は何次かによって計算方法が全く異なります。なので、それぞれに対応した計算方法を覚えなくてはなりません。

二次行列式

2行2列の行列式のことを「二次行列式」といいます。二次行列式は以下の図のように、クロスするような計算をします。

つまり,下図のような計算をするわけです。

この計算方法が分かれば、先ほど出てきた

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: image-46.png

これがなぜこうなるのかも分かるでしょう。

なぜこんな計算方法なのか疑問に思う方もいるかもしれませんが、何回も言っているように、「こういう計算方法になるように定義したもの」が行列式なので、これは覚えるしかありません。

三次行列式

三次行列式は少し厄介です。三次行列式を解く方法として、サラスの方法というものがあります。例えば、図のような三次行列式を考えましょう。

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}

サラスの方法は以下の図のような計算の仕方をします。

このような計算をし、+成分と-成分を足し合わせます。すると、

となり、この行列式は0ということが分かりました。

これが三次行列式の計算方法で、サラスの方法といわれているやつです。かなり面倒くさい計算ですよね?でも、覚えるしかないんですよ。。。

四次以降の行列式の計算方法

四次以降の行列式は、二次や三次行列式のような公式的なものはありません。あったとしても項数が24個になるので、中々覚えるのも大変です。

ではどうやって解くかというと、「余因子展開」という手法を使うのです。簡単に言うと、「四次行列式を三次行列の和に変換し、その三次行列式をサラスの方法で解く」といった感じです。

この余因子展開を使えば、五次行列式でも六次行列式でも求めることが出来ます。(めちゃくちゃ大変ですけどね)

余因子展開については後程書こうかなと思います。それまでは他のサイトで調べてみてください(o*。_。)oペコッ

最後に

かなり長くなってしまったので、とりあえずこの辺で区切っておきます。この後に続く「行列式の定義(執筆中)」では、行列式のちゃんとした定義を解説しています。

二次行列式と三次行列式の計算は全く別物のように感じたかもしれませんが、実はちゃんと定義に沿った計算をしているのです。

もしさらに深く知りたいという方がいらっしゃったらぜひとも読むことをお勧めします。

ブラック
ブラック

最後まで見てくれてありがとうよ!

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