【離散数学】恒真式(恒真命題式)とは?簡単に解説します!

恒真式

こんにちは!くるです!

今回は論理式を構成している命題の真偽に関わらず常に真となる論理式である「恒真式(恒真命題式)」について簡単に説明していきます!

恒真式(恒真命題式)とは?

冒頭でも説明した通り、恒真式(恒真命題式)は「論理式を構成している命題の真偽に関わらず常に真となる論理式」です。

恒真式は色んな呼び方があり、

というように少なくとも4つの呼び方があります。

また、恒式があるなら、もちろん「恒偽式」もあります。

恒偽式も色んな呼び方があり、

この記事では以降、「恒真式」、「恒偽式」と呼びます。

先生
先生

簡単な例

最初から論理式で説明しても分からないと思うので、まずは、日本語の文で恒真式について学んでいきましょう。

例えば次のような文章を考えてください

明日は晴れである、または、明日は晴れではない

この文は絶対正しいですよね?

「明日は晴れである」がであれば「明日は晴れではない」がとなり、「明日は晴れである」がであれば「明日は晴れではない」がとなります。

つまり、「明日は晴れである」、「明日は晴れではない」の2つの文の真偽に関わらず、文章全体としては必ず「」になります。

これが「恒真式」です

先生
先生

では、次のような文章を考えてみましょう。

明日は晴れである、かつ、明日は晴れではない

「または」が「かつ」に変わりました。

こうなると、文章全体がになるためには、「明日は晴れである」と「明日は晴れではない」の両方がになる必要がありますが、そんなことはあり得ませんよね?

つまり、「明日は晴れである」、「明日は晴れではない」の2つの文の真偽に関わらず、文章全体としては必ず「」になると言えるのです。

これが「恒偽式」です

数学的に考える

「明日は晴れである」と「明日は晴れではない」という文章はどちらも真偽がはっきりしています。つまり「命題」です。

そこで、「明日は晴れである」を$p$、「明日は晴れではない」を否定記号を使って$\lnot p$と表し、「または」と「かつ」をそれぞれ「∨」と「∧」で表すことにします。

すると、先ほどの例文は次のような論理式に置き換えられます。

論理式にすると、恒真、恒偽になるのが一目で分かりますね。

最初に、恒真式は「論理式を構成している命題の真偽に関わらず常に真となる論理式」と言いましたが、その意味はこの論理式を見ると分かると思います。

恒真式(恒真命題式)の判別方法

では、実際にどうやったら「恒真式である」と判別できるのかを説明していきます。今回は3パターン判別方法を用意しています。

例えば、次のような問題を考えましょう。

次の論理式が恒真であるか恒偽であるかを述べよ。

$$\lnot (p \land \lnot p)$$

真理値表を使う場合

真理値表を使うのが一番分かりやすく、安全に考えられるので、おすすめです。

解答

真理値表は次のようになる。

よって、$\lnot (p \land \lnot p)$は恒真式である。

くるる
くるる

これなら簡単っすね!

実際に真・偽を当てはめてみる場合

命題を真に固定、偽に固定し、どちらの場合にも全体の論理式が常に真か偽になることを確認することで判別する方法です。かなり分かりやすい方法ですが、解答が長くなりがちです。

ここでは真を$T$、偽を$F$という記号で表すことにします。

解答

$p=T$のとき

$\lnot (T \land \lnot T)$となり、$T \land \lnot T$は明らかに偽。

従って、$\lnot (T \land \lnot T)$は真となり、論理式$\lnot (p \land \lnot p)$は真である。

$p=F$のとき

$\lnot (F \land \lnot F)$となり、$F \land \lnot F$は明らかに偽。

従って、$\lnot (F \land \lnot F)$は真となり、論理式$\lnot (p \land \lnot p)$は真である。

よって、$p=T$, $p=F$どちらの場合にも真であるので、論理式$\lnot (p \land \lnot p)$は恒真式である。

こんな感じで、結構長ったらしい文章になります。

命題が増えるとその分場合分けが増えるので、あんまりおすすめの方法ではありません。

同値関係を使う場合

同値関係を使い、式を変形していき、恒真か恒偽かを調べる方法です。

ちなみに離散数学では同値記号として「$\equiv$」を使います。ただ、場合によっては「⇔」や「=」を使うかもしれません。

さて、同値関係を使うと次のような式変形が出来ます。

解答

$$\begin{eqnarray} \lnot (p \land \lnot p) &\equiv& \lnot p \lor p \quad (ド・モルガンの法則) \\ &\equiv& T \end{eqnarray}$$

よって、論理式$\lnot (p \land \lnot p)$は常に真であるから、恒真式である。

このように簡単な論理式なら同値関係でも判別は出来るのですが、論理式が難しくなるとかなり計算が煩雑になってしまいますし、覚えることもたくさんあります。

ただ、その分慣れれば一番早く計算できる方法でもあります。

そのため、上級者用の解き方と言えるでしょう。

先生
先生

以上が恒真式(恒真命題式)の判別方法になります!

まとめ

・恒真式とは「論理式を構成している命題の真偽に関わらず常に真となる論理式」

・恒真式の判別方法は「真理値表を書く」「実際に真・偽を当てはめてみる」「同値関係を使う」の3つ

お疲れ様でした!

先生
先生

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