こんにちは！krです！
前回は対角化について説明しましたが、今回はまた章が変わって、「正規直交化」というものについてやっていこうと思います。前回の記事はこちら「対角化のやり方や判別方法を分かりやすく解説！」
線形写像や対角化に比べれば、かなり簡単で分かりやすい分野なので、軽い気持ちで最後まで見て頂きたいです(*’ω’*)
目的は何？
正規直交化ってなんなんすかね～？
まず、正規直交化のイメージを掴むために、そもそも正規直交化は何をするのが目的なのかを説明します。
正規直交化という言葉ですが、これは「正規化」と「直交化」という2つが合わさって出来た言葉です。
正規化は「ベクトルの長さを1にする」こと。直交化は「2つのベクトルを直交にする」ことです。つまり、正規直交化とは
と言い表すことが出来ます。これを図にすると次のようなイメージになります。
この図は簡単にするために、x,y,z軸に重なるようにしていますが、一般的にはx,y,z軸に重なる必要はありません。
これが正規直交化です。イメージは掴めたでしょうか？
思ってたよりも簡単っす！
これならすぐに理解できそうだね！
正規直交化の手順
例えば、次のような3つのベクトルを正規直交化することを考えてみましょう。
$$\boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$
正規直交化すると次のようなベクトルになります。
$$\boldsymbol{u}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_{3} = \frac{1}{\sqrt{8}}\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$
正規直交化は次のような手順で行います。
ステップ１ $\boldsymbol{v}_{1}$を正規化して$\boldsymbol{u}_{1}$にする
ステップ２ $\boldsymbol{v}_{2}$を$\boldsymbol{u}_{1}$と直交なベクトル$\boldsymbol{v}_{2}’$にする
ステップ３ $\boldsymbol{v}_{2}’$を正規化して$\boldsymbol{u}_{2}$にする
ステップ４ $\boldsymbol{v}_{3}$を$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$と直交なベクトル$\boldsymbol{v}_{3}’$にする
ステップ５ $\boldsymbol{v}_{3}’$を正規化して$\boldsymbol{u}_{3}$にする
では1つずつ説明していきます。
ステップ１ $\boldsymbol{v}_{1}$を正規化して$\boldsymbol{u}_{1}$にする
まずは、どのベクトルを中心にして正規直交化を行うかを選びます。今回は$\boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$にしましょう。
ベクトルを正規化、つまり長さ1にするにはどうすればいいでしょうか？
そうですね。ベクトルをベクトルの大きさで割ればいいのです。なので、正規化後のベクトルを$\boldsymbol{u}_{1}$とおくと、
$$\boldsymbol{u}_{1} = \frac{1}{|\boldsymbol{v}_{1}|}\boldsymbol{v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$
これで、$\boldsymbol{v}_{1}$は正規化されて$\boldsymbol{u}_{1}$となりました。
$\boldsymbol{v}_{1}$にする作業はこれだけっす！
ステップ２ $\boldsymbol{v}_{2}$を$\boldsymbol{u}_{1}$と直交なベクトル$\boldsymbol{v}_{2}’$にする
次は、$\boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$が先ほど求めた$\boldsymbol{u}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$と直交になるようにします。
ではどうするかと言うと、$\boldsymbol{v}_{2}$から$\boldsymbol{u}_{1}$に平行な成分を消すのです。
例えば、$\boldsymbol{v}_{2}$と$\boldsymbol{u}_{1}$が次の図のようになっていると考えましょう。
図にあるように、$\boldsymbol{v}_{2}$の$\boldsymbol{u}_{1}$に平行な成分の大きさ（注意）は$|\boldsymbol{v}_{2}|cos \theta$で表されます。
$\boldsymbol{u}_{1}$は大きさ１のベクトルなので、$|\boldsymbol{u}_{1}|$を掛けても大きさは変わりません。つまり、
$$|\boldsymbol{v}_{2}|cos \theta = |\boldsymbol{v}_{2}||\boldsymbol{u}_{1}|cos \theta $$
です。このとき、$|\boldsymbol{v}_{2}||\boldsymbol{u}_{1}|cos \theta $というのは内積の定義式でした。そのため、
$$|\boldsymbol{v}_{2}|cos \theta = \boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{u}_{1}$$
となり、先ほどの図は次の図のようになります。
また、$\boldsymbol{u}_{1}$は大きさ1のベクトルなので、$(\boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{u}_{1})\boldsymbol{u}_{1}$は「大きさ$\boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{u}_{1}$の$\boldsymbol{u}_{1}$方向のベクトル」になります。
すると、以下の図のようになるわけです。
$\boldsymbol{u}_{1}$と$\boldsymbol{v}_{2}’$が直交というのが重要です！
そして、
$$ \begin{eqnarray} \boldsymbol{v}_{2}’ &=& \boldsymbol{v}_{2}-(\boldsymbol{v}_{2} \cdot \boldsymbol{u}_{1})\boldsymbol{u}_{1} \\
&=& \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}-\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\
&=& \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\
&=& \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$
となり、$\boldsymbol{v}_{2}’$が求まります。ここで注意してほしいのですが、$\boldsymbol{v}_{2}’$はまだ直交化をしただけです。正規化はしていません。
ステップ３ $\boldsymbol{v}_{2}’$を正規化して$\boldsymbol{u}_{2}$にする
ここはステップ１と同じなので、サクッといきましょう。
$$\boldsymbol{u}_{2} = \frac{1}{|\boldsymbol{v}_{2}’|}\boldsymbol{v}_{2}’ = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
ステップ４ $\boldsymbol{v}_{3}$を$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$と直交なベクトル$\boldsymbol{v}_{3}’$にする
ステップ２では２つのベクトルが直交するようにするだけで良かったのですが、今度は３つのベクトルが直交になるようにしなければなりません。
一見難しそうに感じるかもしれませんが、実はそんなに難しいことではありません。$\boldsymbol{v}_{3}’$は次のような式で表されます。
これによって、$\boldsymbol{v}_{3}’$は$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$と垂直なベクトルになります。
$\boldsymbol{v}_{3}’ = \boldsymbol{v}_{3}-(\boldsymbol{v}_{3} \cdot \boldsymbol{u}_{1})\boldsymbol{u}_{1}-(\boldsymbol{v}_{3} \cdot \boldsymbol{u}_{2})\boldsymbol{u}_{2}$
$ \quad \ = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}-\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
$ \quad \ = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
となります。
次で最後っす！
ステップ５ $\boldsymbol{v}_{3}’$を正規化して$\boldsymbol{u}_{3}$にする
ステップ１,３と同様に計算すると、
$$\boldsymbol{u}_{3} = \frac{1}{|\boldsymbol{v}_{3}’|}\boldsymbol{v}_{3}’ = \frac{1}{\sqrt{8}}\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$
よって、$\boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$を正規化すると、$\boldsymbol{u}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_{3} = \frac{1}{\sqrt{8}}\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$となる。
それぞれのベクトルの大きさが１で、互いに直交しているか要チェック！
今回はここまで！
最後まで見て頂きありがとうございました！
ベクトルの長さを全て1にして、それぞれが互いに直交になるようにすること