$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } te^{-a|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-at} \cdot e^{-i \omega t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{at} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{-(i \omega -a)t} dt \end{eqnarray}$$
ここで、部分積分を用いると、
$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t} &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } t \left \{ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega+a} \left[ te^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty + \frac{1}{i\omega+a} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-(i\omega + a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega+a} \left[ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty \\ &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } te^{-(i\omega-a)t} &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } t \left \{ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega-a} \left[ te^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 + \frac{1}{i\omega-a} \displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-(i\omega-a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega-a} \left[ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 \\ &=& -\frac{1}{(i\omega-a)^2} \end{eqnarray}$$
よって、
$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2}-\frac{1}{(i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(i\omega-a)^2-(i\omega+a)^2}{(i\omega+a)^2 (i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(a^2-2i\omega a-\omega^2)-(a^2+2i\omega a-\omega^2)}{ \{ (i\omega+a)(i\omega-a) \}^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(-\omega^2-a^2)^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(\omega^2+a^2)^2}\end{eqnarray}$$
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解答は一切飛ばさずにむしろ冗長になるぐらいに書いており、フーリエ変換前の関数$f(t)$とフーリエ変換後の関数$F(\omega)$のグラフも全問題書いてあります。
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