フーリエ変換例題集【なんとなく学ぶフーリエ解析】

フーリエ変換例題集

フーリエ変換の基本的な問題を5つ集めました。ただ、純粋に「フーリエ変換する」問題しかありません。

フーリエ変換の公式は以下のものを利用しています。教科書によっては∫の前に$\frac{1}{2\pi}$や$\frac{1}{\sqrt{2}\pi}$が掛かっているかもしれませんが、そのときは解答にそれぞれを掛けてください。

問題集販売中!

本記事で解説している5問以外のフーリエ変換の典型問題10問を詰め込んだ問題集をnoteにて300円で販売しています。販売ページはこちら

解答は一切飛ばさずにむしろ冗長になるぐらいに書いており、フーリエ変換前の関数$f(t)$とフーリエ変換後の関数$F(\omega)$のグラフも全問題書いてあります

レポートやテスト勉強のお助け道具として利用してください。収録問題は以下の通りです。

以下のボタンからnoteの販売ページに飛べます。問題集の1問目までの内容を無料で載せているので、気になる方はぜひ。

問1

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} 1 & ( |t| \leq 1 ) \\ 0 & ( |t| \gt 1 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

解答を表示
$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(t) e^{-i \omega t} dt \\ &= & \displaystyle \int_{-1}^{ 1 } e^{-i \omega t} dt \\ &=& \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{-1}^1 \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{-i \omega}-e^{i \omega}) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} \{ cos(- \omega)+isin(- \omega)-cos\omega-isin\omega \} \\ &=& \frac{2sin\omega}{\omega} \end{eqnarray}$$

2

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} 1 & ( 0 \leq t \leq 1 ) \\ -1 & ( -1 \leq t \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

解答を表示
$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(t) e^{-i \omega t} dt \\ &= & \displaystyle \int_{0}^{ 1 } e^{-i \omega t} dt + \displaystyle \int_{-1}^{ 0 } -e^{-i \omega t} dt \\ &=& \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{0}^1 – \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{-1}^0 \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{-i \omega}-1)+ \frac{1}{i \omega} (1-e^{i \omega}) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{i \omega}+e^{-i \omega}-2) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} \{ cos\omega+isin\omega+cos(-\omega)+isin(-\omega)-2 \} \\ &=& -\frac{2}{i \omega} (cos\omega-1) \\ &=& \frac{2i}{\omega} (cos\omega-1) \end{eqnarray}$$

3

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} -t+1 & ( 0 \leq t \leq 1 ) \\ t+1 & ( -1 \leq t \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

解答を表示

偶関数であるから、フーリエ余弦変換より、

$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& 2\displaystyle \int_{0}^{ \infty } f(t)cos\omega t dt \\ &=& 2\displaystyle \int_{0}^{1} (-t+1)cos\omega t dt \\ &=& 2\displaystyle \int_{0}^{1} (-t+1)(\frac{1}{\omega}sin\omega t)’ dt \\ &=& 2 \left \{ \frac{1}{\omega} \left[ (-t+1)sin\omega t \right]_{0}^1 + \frac{1}{\omega} \displaystyle \int_{0}^{1} sin\omega t dt \right \} \\ &=& \frac{2}{\omega} \left[ -\frac{1}{\omega} cos\omega t \right]_{0}^1 = \frac{2}{\omega^2}(1-cos\omega) \end{eqnarray}$$

4

$$f(t) = e^{-a|t|} \qquad a>0$$

をフーリエ変換せよ。

解答を表示
$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } e^{-a|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-at} \cdot e^{-i \omega t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{at} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-(i\omega + a)t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-(i \omega -a)t} dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega + a} \left[ e^{-(i\omega + a)t} \right]_{0}^{\infty}-\frac{1}{i\omega – a} \left[ e^{-(i\omega – a)t} \right]_{-\infty}^{0} \\ &=& \frac{1}{i\omega+a}-\frac{1}{i\omega-a} \\ &=& \frac{i\omega -a-(i\omega+a)}{(i\omega+a)(i\omega-a)} \\ &=& \frac{-2a}{-\omega^2-a^2} \\ &=& \frac{2a}{\omega^2+a^2}\end{eqnarray}$$

5

$$f(t) = te^{-a|t|} \qquad a>0$$

をフーリエ変換せよ。

解答を表示

$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } te^{-a|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-at} \cdot e^{-i \omega t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{at} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{-(i \omega -a)t} dt \end{eqnarray}$$

ここで、部分積分を用いると、

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t} &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } t \left \{ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega+a} \left[ te^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty + \frac{1}{i\omega+a} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-(i\omega + a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega+a} \left[ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty \\ &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } te^{-(i\omega-a)t} &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } t \left \{ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega-a} \left[ te^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 + \frac{1}{i\omega-a} \displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-(i\omega-a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega-a} \left[ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 \\ &=& -\frac{1}{(i\omega-a)^2} \end{eqnarray}$$

よって、

$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2}-\frac{1}{(i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(i\omega-a)^2-(i\omega+a)^2}{(i\omega+a)^2 (i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(a^2-2i\omega a-\omega^2)-(a^2+2i\omega a-\omega^2)}{ \{ (i\omega+a)(i\omega-a) \}^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(-\omega^2-a^2)^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(\omega^2+a^2)^2}\end{eqnarray}$$

以下の記事もおすすめです!

フーリエ変換
逆フーリエ変換
初学者におすすめの参考書

大学の教科書よりもはるかに分かりやすい参考書を調査してまとめてみました。良かったら参考にしてください。

初学者におすすめのフーリエ解析の参考書5選
PHP Code Snippets Powered By : XYZScripts.com