フーリエ変換例題集【なんとなく学ぶフーリエ解析】

フーリエ変換例題集

フーリエ変換の基本的な問題を5つ集めました。ただ、純粋に「フーリエ変換する」問題しかありません。

フーリエ変換の公式は以下のものを利用しています。教科書によっては∫の前に$\frac{1}{2\pi}$や$\frac{1}{\sqrt{2}\pi}$が掛かっているかもしれませんが、そのときは解答にそれぞれを掛けてください。

問1

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} 1 & ( |t| \leq 1 ) \\ 0 & ( |t| \gt 1 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

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$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(t) e^{-i \omega t} dt \\ &= & \displaystyle \int_{-1}^{ 1 } e^{-i \omega t} dt \\ &=& \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{-1}^1 \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{-i \omega}-e^{i \omega}) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} \{ cos(- \omega)+isin(- \omega)-cos\omega-isin\omega \} \\ &=& \frac{2sin\omega}{\omega} \end{eqnarray}$$

2

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} 1 & ( 0 \leq t \leq 1 ) \\ 0 & ( -1 \leq t \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

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$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(t) e^{-i \omega t} dt \\ &= & \displaystyle \int_{0}^{ 1 } e^{-i \omega t} dt + \displaystyle \int_{-1}^{ 0 } -e^{-i \omega t} dt \\ &=& \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{0}^1 – \left[ – \frac{1}{i \omega} e^{-i \omega t} \right]_{-1}^0 \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{-i \omega}-1)+ \frac{1}{i \omega} (1-e^{i \omega}) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} (e^{i \omega}+e^{-i \omega}-2) \\ &=& -\frac{1}{i \omega} \{ cos\omega+isin\omega+cos(-\omega)+isin(-\omega)-2 \} \\ &=& -\frac{2}{i \omega} (cos\omega-1) \\ &=& \frac{2i}{\omega} (cos\omega-1) \end{eqnarray}$$

3

$$\begin{eqnarray} f(t) = \begin{cases} -t+1 & ( 0 \leq t \leq 1 ) \\ t+1 & ( -1 \leq t \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$

をフーリエ変換せよ。

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偶関数であるから、フーリエ余弦変換より、

$$ \begin{eqnarray} F(\omega) &=& 2\displaystyle \int_{0}^{ \infty } f(t)cos\omega t dt \\ &=& 2\displaystyle \int_{0}^{1} (-t+1)cos\omega t dt \\ &=& 2\displaystyle \int_{0}^{1} (-t+1)(\frac{1}{\omega}sin\omega t)’ dt \\ &=& 2 \left \{ \frac{1}{\omega} \left[ (-t+1)sin\omega t \right]_{0}^1 + \frac{1}{\omega} \displaystyle \int_{0}^{1} sin\omega t dt \right \} \\ &=& \frac{2}{\omega} \left[ -\frac{1}{\omega} cos\omega t \right]_{0}^1 = \frac{2}{\omega^2}(1-cos\omega) \end{eqnarray}$$

4

$$f(t) = e^{-a|t|} \qquad a>0$$

をフーリエ変換せよ。

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$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } e^{-a|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-at} \cdot e^{-i \omega t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{at} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-(i\omega + a)t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-(i \omega -a)t} dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega + a} \left[ e^{-(i\omega + a)t} \right]_{0}^{\infty}-\frac{1}{i\omega – a} \left[ e^{-(i\omega – a)t} \right]_{-\infty}^{0} \\ &=& \frac{1}{i\omega+a}-\frac{1}{i\omega-a} \\ &=& \frac{i\omega -a-(i\omega+a)}{(i\omega+a)(i\omega-a)} \\ &=& \frac{-2a}{-\omega^2-a^2} \\ &=& \frac{2a}{\omega^2+a^2}\end{eqnarray}$$

5

$$f(t) = te^{-a|t|} \qquad a>0$$

をフーリエ変換せよ。

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$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } te^{-a|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-at} \cdot e^{-i \omega t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{at} \cdot e^{-i \omega t} dt \\ &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t}+\displaystyle \int_{-\infty}^{0} te^{-(i \omega -a)t} dt \end{eqnarray}$$

ここで、部分積分を用いると、

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } te^{-(i\omega + a)t} &=& \displaystyle \int_{0}^{ \infty } t \left \{ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega+a} \left[ te^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty + \frac{1}{i\omega+a} \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-(i\omega + a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega+a} \left[ -\frac{1}{i\omega+a} e^{-(i\omega + a)t} \right]_0^\infty \\ &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } te^{-(i\omega-a)t} &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ 0 } t \left \{ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right \}’ dt \\ &=& -\frac{1}{i\omega-a} \left[ te^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 + \frac{1}{i\omega-a} \displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-(i\omega-a)t} dt \\ &=& \frac{1}{i\omega-a} \left[ -\frac{1}{i\omega-a} e^{-(i\omega-a)t} \right]_{-\infty}^0 \\ &=& -\frac{1}{(i\omega-a)^2} \end{eqnarray}$$

よって、

$$\begin{eqnarray} F(\omega) &=& \frac{1}{(i\omega+a)^2}-\frac{1}{(i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(i\omega-a)^2-(i\omega+a)^2}{(i\omega+a)^2 (i\omega-a)^2} \\ &=& \frac{(a^2-2i\omega a-\omega^2)-(a^2+2i\omega a-\omega^2)}{ \{ (i\omega+a)(i\omega-a) \}^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(-\omega^2-a^2)^2} \\ &=& -\frac{4i\omega a}{(\omega^2+a^2)^2}\end{eqnarray}$$

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