フーリエ変換と逆フーリエ変換の公式の導出を分かりやすく解説!【なんとなく学ぶフーリエ解析】

フーリエ変換と逆フーリエ変換の導出

フーリエ変換の公式の導出

くるる
くるる

フーリエ変換の公式の導出が良く分からないっす…。教科書の導出は難しすぎるっすよ!

ポンタ
ポンタ

厳密性を重視するのは分かるけど、もっと分かりやすくしてほしいよね…

良く分かります、その気持ち。厳密にやろうとしすぎて、結局何がしたいのか分からない教科書が多いんですよね…。なので、今回は出来る限り簡単に理解できるように、難しいことは全て省いてフーリエ変換の公式の導出を説明します!

ステップ1 複素フーリエ級数展開の式を用意する

まずは、複素フーリエ級数展開の式を思い出しましょう。以下の式は周期$2L$の関数における複素フーリエ級数展開の式です。


・複素フーリエ級数の一般式

$$f(x) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{\frac{in \pi x}{L}}$$
・複素フーリエ係数
$$\begin{eqnarray} c_n = \frac{1}{2L} \displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)e^{\frac{-in \pi x}{L}} \ dx \end{eqnarray}$$

フーリエ変換の公式はこの式から導出することが出来るのです!

先生
先生
くるる
くるる

複素フーリエ展開とフーリエ変換にはどんな関係があるんすか?

複素フーリエ級数展開は「周期を持つ」関数にのみ使える方法です。でも、実際には周期を持たないような関数もありますよね?出来ればそのような関数も波の和に分解したい。

だから「周期を持たない=周期が無限」と考えることにしたのです。そうすると、複素フーリエ級数展開と同じ要領で出来そうですよね?

なので、感覚としては、「周期を無限と考えた複素フーリエ級数展開 = フーリエ変換・フーリエ逆変換」という感じです。

ステップ2 ステップ1の2式を1つにまとめる

複素フーリエ級数の一般式複素フーリエ係数の公式代入します。すると、次のような式が得られます。変数が混ざることを防ぐために、複素フーリエ係数の$x$を$t$に変えていることに注意してください。

ステップ3 周期を無限に飛ばす準備をする

ステップ1でも言いましたが、フーリエ変換は周期を持たない関数を「周期が無限の関数」と考えます。なので、今はまだ周期が$2L$ですが、これを無限にしなくてはいけません。

そこで、次のような置き換えをしましょう。

$$\omega_n = \frac{n \pi}{L}$$

$$\varDelta \omega = \omega_{n+1}-\omega_n = \frac{\pi}{L}$$

この2式を使ってステップ2の式を次のように書き変えます!

先生
先生

これで周期を無限に飛ばす準備が出来ました。どうしてこんな置き換えをしたかと言うと、最後の$\varDelta \omega$が欲しかったからです。

ステップ4 周期を無限に飛ばす

さて、周期を無限に飛ばしていくのですが、その前にまず、次のような操作をしましょう。

括弧の中のごちゃごちゃした式を$G(\omega_n)$と置いただけです。これについては深く考える必要はありません。この式のやっていることは次の図のようにイメージできます。

そして、周期を無限に飛ばす、つまり$L \rightarrow \infty$とするわけですが、$\varDelta \omega = \frac{\pi}{L}$より、$\varDelta \omega \rightarrow \infty$も「周期を無限に飛ばす」という意味を持つことが分かります。

つまり、周期を無限に飛ばすと、次のような式となるわけです。

この式のやっていることは次の図のようにイメージできます。ということは、この式って、$-\infty$から$\infty$までの積分をやってるのと同じですよね?

つまり次のようなことが言えるのです。

そして、$G(\omega)$を元の式に戻しましょう。すると次のような式が最終的に得られます。

これで周期を無限に飛ばすことが出来ました。

先生
先生

ステップ5 フーリエ積分公式からフーリエ変換を導く

これが最後の作業です!ステップ4で得られた式の一部を次のように置換します。

そして、この$F(\omega)$がフーリエ変換の公式で、$f(x)$が逆フーリエ変換の公式です。


また、これらの公式は$F(\omega)$の置換の仕方によって3つの流派が存在します。例えば、次のように置換すると、

各公式は次のようになります。


さらに、$\frac{1}{2\pi}$を$\frac{1}{\sqrt{2} \pi}$の積に分解して置換すると、

各公式は次のようになります。

基本的にどの流派でも大丈夫なのですが、教授の流派に合わせた方が良いと思います。

以上です!以下の記事もぜひご覧ください!

フーリエ変換
逆フーリエ変換

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