フーリエ変換とは何かをザックリ解説!【なんとなく学ぶフーリエ解析】

フーリエ変換

こんにちは!くるです!今回は

・フーリエ変換って結局何なの?

・フーリエ級数はもう関係ないの?

・フーリエ変換をザックリ簡単に説明してほしい!

という方たちのために「フーリエ変換とは何なのか」また、「フーリエ級数とどういう関係があるのか」を説明します!

難しい数式は一切出てこず、導出もしてないので、サクッと読めます。

初めに

まず最初に言っておきますが、もしかしたらこの記事を見ている皆さんは「フーリエ変換」が今までの「フーリエ級数」や「フーリエ係数」とは全く無関係の新しい概念だと思っているかもしれません。

でも、違うのですよ。フーリエ級数やフーリエ係数の続きとしてフーリエ変換があるだけなのです。それをこの記事を通して理解していただけたらと思います。

また、この記事は複素フーリエ級数について理解できていないと難しいと思うので、先に「複素フーリエ級数を分かりやすく解説!」をご覧になってください。

フーリエ変換とフーリエ級数の関係

最初にフーリエ級数とフーリエ変換の関係をまとめるとこんな感じになります。逆フーリエ変換については今は気にしないでください。重要なのはフーリエ変換は複素フーリエ係数と対応しているということです。

この図を理解するために、まずは簡単に「フーリエ級数展開」と「複素フーリエ級数展開」について復習しましょう。

先生
先生

フーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開の復習

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開は簡単に言うと「複雑な関数を三角関数の和に分解する」ことでした。つまり、図のようなことをしたいわけです。

フーリエ級数の一般式は次のように表されます。

そして、各三角関数の係数である$a_n,b_n$は次のような公式で求めることが出来るのでした。

要約すると、「フーリエ係数の公式から関数$f(t)$のフーリエ係数を求めて、一般式に代入して、関数$f(t)$を三角関数の和で表す」ことがフーリエ級数展開です。

くるる
くるる

次は複素フーリエ級数の復習っす!

複素フーリエ級数展開

複素フーリエ級数展開はさっきのフーリエ級数展開を複素数形式にしただけです。

何故複素数形式にするのかというと「計算が楽になるから」です。とりあえずそれだけ覚えておけばいいです。

フーリエ級数展開を複素数形式にしただけなので、もちろんフーリエ級数の一般式やフーリエ係数の公式は同じようなもので、次の図の通りでしたね。

大事なことなので、もう一度言いますが、複素フーリエ級数展開は普通のフーリエ級数展開を複素数形式にしただけのものです。それ以外は何も変わりません。

ポンタ
ポンタ

フーリエ変換の説明に入るよ!

フーリエ変換

フーリエ級数展開で関数を三角関数の和に分解することが出来るんだから、もう何もいらないんじゃないの?

と思うかもしれませんが、実はフーリエ級数展開は周期関数にしか使えないのです。

くるる
くるる

てことは、非周期関数は三角関数の和に分解することはできないってことっすか??

ここでフーリエ変換が登場するのです!

先生
先生

フーリエ変換は簡単に言えば「非周期の関数でも、周期が無限の関数だと考えれば、フーリエ級数展開のように三角関数の和に分解できるんじゃね?」という考えのもと作り出されたものです。

ここで、最初に見てもらった画像をもう一度見てみましょう。

複素フーリエ係数の$L$は半周期を表しています。つまり周期$2\pi$の関数なら$L=\pi$なわけです。

一方フーリエ変換の方の式を見てください。半周期が$\infty$、つまり周期が無限の関数になっていることが分かります。

これは先ほど言った「フーリエ変換は非周期関数を周期が無限の関数だと考える」ということと一致しています。

まとめると

MEMO
フーリエ級数や複素フーリエ級数は周期関数しか三角関数の和に分解できないが、フーリエ変換は非周期関数を周期が無限の関数と考えることで関数を三角関数の和に分解することができる

ということなんです。

まとめ

フーリエ変換とは何かをザックリ解説してきました。

フーリエ変換の公式の導出や逆フーリエ変換については以下の記事で説明しているので、ぜひご覧ください!

フーリエ変換と逆フーリエ変換の導出
逆フーリエ変換

お疲れ様でした!

先生
先生

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