こんにちは！krです！
今回は離散数学における「最大最小・極大極小・上界下界・上限下限」について簡潔に説明していきます。
ハッセ図を使って説明するので、「ハッセ図が分からないよ～」って方はこちらの「【離散数学】ハッセ図とは？書き方を分かりやすく解説！」で概要を掴んでください！
最大 / 最小とは「他の要素が全て自分より「下/上」にある要素」
極大 / 極小とは「他の要素が自分より「上/下」にない要素」
上界 / 下界とは「自分もしくは自分よりも「上/下」にある要素の集合」
上限 / 下限とは「上界の中で最小の要素 / 下界の中で最大の要素」
初めに
「最大最小・極大極小・上界下界・上限下限」についてこれから説明していくわけですが、これらは集合の要素が「数字」であるか「集合」であるかで大きく考え方が変わってきます。
例えば、{1,2,3}という数字の集合の場合、最大や極大を求めることは容易いでしょう。最大は3で極大も3です。
しかし、{{1}, {1,2}, {1,2,3}}という集合の集合の場合は、最大や極大の概念が少し分かりづらいです。
そのため、集合の要素が「数字」である場合と、集合の要素が「集合」である場合の2パターンに分けて「最大最小・極大極小・上界下界・上限下限」を解説します。
まずは、要素が数字の場合について考えてみましょう。
要素が数字の場合
次のハッセ図を見てください。
いきなりですが、このハッセ図における「最大最小・極大極小」を何となくでいいので考えてみてください。
分かりましたか？正解は次の図になります。
では、最大最小、極大極小について説明していきます。
最大最小
最大は「他の要素が全て自分より下にある要素」のことです。
逆に最小は「他の要素が全て自分より上にある要素」のことです。
ここで注意が必要なのが、「線で繋がれていない要素同士は比べることができない」という点です。
今回の例で言えば、ぱっと見「8」が最大になりそうな気もしますが、「6」「5」「7」とは直接線が繋がっていないので、どちらが上かを決めることが出来ません。
そのため、最大は「なし」で、最小は他の要素が全て自分より上にある「1」になります。
なるほどっす！
極大極小
極大は「他の要素が自分より上にない要素」のことです。
逆に極小は「他の要素が自分より下にない要素」のことです。
ここでも「線で繋がれていない要素同士は比べることができない」という点に注意しましょう。「8」は一見「6」「5」「7」よりも上にあるように見えますが、線で繋がれていないので、どちらが上かは決定することが出来ません。
そのため、極大は他の要素が自分より上にない「8,6,5,7」の4つであり、極小は他の要素が自分より下にない「1」になります。
最大最小と違い、極大極小は1つだけではないことに注意しましょう！
それでは次は「上界下界・上限下限」について説明していきます。
またいきなりですが、先ほどと同じハッセ図において、「2」の上界下界、またその上限下限を考えてみてください。
分かりましたか？正解はこちら！
それでは、上界下界、上限下限について説明していきます。
上界下界
上界下界は「何を基準に」上界なのか下界なのかをハッキリさせないといけません。
今回の例では「2」が基準です。
さて、上界は「自分もしくは自分よりも上にある要素の集合」です。
逆に下界は「自分もしくは自分よりも下にある要素の集合」です。
だから、「2」を基準にすると「2,4,6,8」が「2の上界」となります。
同じように、「2,1」が「2の下界」になります。
何となく分かったよ！
上限下限
上限は「上界の中で最小の要素」です。
下限は「下界の中で最大の要素」です。
上限下限は言葉の響きだけだと、「上限＝上界の最大の要素」「下限＝下界の最小の要素」と勘違いしてしまいますが、そうではないことに注意してください。
さて、上界の集合「2,4,6,8」の中で最小なのは「2」なので、上限は「2」です。
また、下界の集合「2,1」の中で最大なのは「2」なので、下限も「2」です。
ここで、
基準の数字が上限かつ下限ってことね！
と思うかもしれませんが、実は違うのです。
例えば、$\{2,4\}$という数字の集合を基準に上界下界を考えると、次のようになります。
これを見れば分かりますが、上限の数字と下限の数字は異なります。
つまり、上限は「基準の集合の中で最大の要素」、下限は「基準の集合の中で最小の要素」と考えるとそのままの意味で捉えることが出来るでしょう。
それでは要素が集合の場合を説明します！
要素が集合の場合
要素が集合でもハッセ図を使って考える限り、考え方は同じです。ただ、「集合の最大最小って何だ？」と思う方がいると思うので、そういうところを重点的に説明していきます。
では、またまたいきなりですが、次のハッセ図の中で最大最小・極大極小のものはどれでしょうか？
答えはこちら！
ちなみに、このハッセ図は「$\subset$」という二項関係のハッセ図です。$\{a\} \subset \{a,b\}$だから$\{a,b\}$は$\{a\}$よりも上にあるのです。
最大最小
最大は単純に「他の要素が全て自分より下にある要素」のことです。
逆に最小は「他の要素が全て自分より上にある要素」のことです。
だから、最大は「$\{a,b,c\}$」、最小は「$\phi$」となります。
「集合に最大最小なんてあんのか！？」と思うかもしれませんが、今回の例では「$\subset$」という関係において、「$A \subset \cdots \subset B$」という関係が成り立つような、全ての集合に含まれる$A$を最小、全ての集合を含む$B$を最大と呼んでいるのです。
単純な「大小」という意味とは少し違うことに注意しましょう。
極大極小
極大は「他の要素が自分より上にない要素」のことです。
極小は「他の要素が自分より下にない要素」のことです。
そのため、「$\{a,b,c\}$」が極大、「$\phi$」が極小になります。
これも「集合に極大極小なんてあんのか！？」と思うかもしれませんが、ハッセ図の枝の先端を極大、根本の先端を極小と呼ぶと決めてあるだけで、数学の微積などで使われている「極大極小」とは少し意味が違うので注意が必要です。
何だかややこしいっすね～
それでは次は「上界下界・上限下限」について説明していきます。
またいきなりですが、先ほどと同じハッセ図において、$\{a,b\}$の上界下界、またその上限下限を考えてみてください。
答えはこちらです！
それでは詳しく解説します！
上界下界
要素が数字だけの時と同じように、まずは何を「基準」とするかを決めなければなりません。
今回は「$\{a,b\}$」が基準ですね。
さて、上界は「自分もしくは自分よりも上にある要素の集合」です。
逆に下界は「自分もしくは自分よりも下にある要素の集合」です。
なので、「$\{a,b\}$」の上界は「$\{a,b\}, \{a,b,c\}$」、下界は「$\{a,b\},\{a\},\{b\},\phi$」となるわけです。
今、「$\subset$」という関係を考えているので、この関係上では「上界＝自分を含んでる要素の集合」、「下界＝自分が含んでる要素の集合」というように考えると分かりやすいかもしれません。
上限下限
上限は「上界の中で最小の要素」です。
下限は「下界の中で最大の要素」です。
ということは当然、「$\{a,b\}$」が上限かつ下限になりますね。
要素が数字だけの場合でも言いましたが、「基準の数字が上限かつ下限」とは限らないことに注意してくださいね。
まとめ
今回の内容を簡単にまとめました。頑張って４つの概念の区別を付けられるようになりましょう！
最大 / 最小とは「他の要素が全て自分より「下/上」にある要素」
極大 / 極小とは「他の要素が自分より「上/下」にない要素」
上界 / 下界とは「自分もしくは自分よりも「上/下」にある要素の集合」
上限 / 下限とは「上界の中で最小の要素 / 下界の中で最大の要素」
「要素が数字の場合」のハッセ図の最大が8だというのは正しくないように思います（この図では8と6などは比較できないので）。「この図の順序について、最大元はない」が答えだと思います。
最大元は「皆が自分より下にいる」元であり、極大元は「誰も自分より上にいない」元だとイメージすると分かりやすいです。
また、集合の包含関係は $\in$ ではなく $\subset$ です。
アークトゥルスさん
ご指摘ありがとうございます。修正致しました。