こんにちは！krです！
前回は重ね合わせの理を説明しましたが、今回も新しい定理の「テブナンの定理」というものを説明していきます。前回の記事はこちら「重ね合わせの理ってどんな定理？短絡や開放をする理由も分かりやすく解説！」
テブナンの定理は初見だとちょっと良く分からない定理なので、この記事で重要なポイントを掴んでもらいたいです(*’ω’*)
テブナンの定理って？
導入
いきなりですが、次の図のような回路において抵抗$R$に流れる電流$I$を求めるにはどうすればいいでしょうか？
キルヒホッフの法則を使えば求まる気がするっす！
重ね合わせの理でも求まる気がするなぁ。
その通り。この２つどちらを使っても電流$I$を求めることが出来ます。
でも実は他にも電流$I$を求める方法がいくつか存在し、その中の１つが今回説明する「テブナンの定理」です。
テブナンの定理の簡単な説明
さて、さっきの回路は一旦忘れて、次の図のような回路の電流$I$を求めることを考えましょう。
テブナンの定理を使うためには、上の図において、ある値を２つ求めないといけません。それが次の図で示されている端子$ab$間の電圧$V_{0}$と回路全体の抵抗$R_{0}$です。
回路全体の抵抗$R_{0}$とは？
回路全体の抵抗$R_{0}$が良く分からないかもしれませんが、これは端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗のことです。
そして、端子$ab$間の電圧が$V_{0}$で、回路全体の抵抗が$R_{0}$であるならば、以下のようなことが言えるはずです。
右側の回路において、端子$ab$間の電圧は$V_{0}$で、回路全体の抵抗は$R_{0}$であるため、この変形は正しいことが分かります。
どうして端子$ab$間の電圧は$V_{0}$になるの？
$R_{0}$で電圧降下が起きるため、端子$ab$間の電圧は$V_{0}$ではないのではないかと思うかもしれませんが、端子$ab$間は開放されているため、電流が流れず、$R_{0}$で電圧降下が起きません。なので端子$ab$間の電圧は$V_{0}$です。
このような変形が出来るならば、抵抗$R$を繋いだ回路も次のように変形できるはずです。
この変形が出来れば、オームの法則より、
$$I = \frac{V_{0}}{R_{0}+R}$$
となり、電流$I$を求めることが出来ます。この一連の流れがテブナンの定理のやりたいことです。
なんとなく分かった気がするっす！
テブナンの定理の使い方
では例題を使ってテブナンの定理の使い方を説明していきます。ちなみにこの回路は最初に見せた回路です。
次の回路において、抵抗$R$に流れる電流$I$を求めよ。
ステップ１ 端子$ab$間の電圧$V_{0}$を求める
まずは、抵抗$R$を切り離して次のような回路を考えます。
キルヒホッフの第二法則より
$$E_{1}-R_{1}I-R_{2}I-E_{2} = 0$$
となり、これを解くと、
$$I = \frac{E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$
となります。よって、端子$ab$間の電圧$V_{0}$は
$$\begin{eqnarray}V_{0} &=& E_{1}-R_{1}I \\
&=& E_{1}-R_{1}\frac{E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\
&=&\frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}+R_{2}} \end{eqnarray}$$
と求めることが出来ます。
ステップ２ 回路全体の抵抗$R_{0}$を求める
回路全体の抵抗とは、「端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗」のことである。
この回路の場合、抵抗$R_{1}と$R_{2}$が並列接続されているため、
$$R_{0}=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$
と簡単に求まります。
ステップ３ テブナンの定理を適用
ステップ１,2より図のような回路の変形が出来る。
よって、テブナンの定理の定理より、
$$\begin{eqnarray}I &=& \frac{V_{0}}{R_{0}+R} \\
&=& \frac{\frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+R} \\
&=& \frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}R_{2}+R(R_{1}+R_{2})} \\
&=& \frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \end{eqnarray}$$
となり、電流$I$を求めることが出来ました。今回はここまで！
お疲れ様でした！
ある回路の集まりに繋がる端子$ab$間の電圧を$V_{0}$、その回路全体の抵抗を$R_{0}$とすると、端子$ab$に繋いだ抵抗$R$に流れる電流は次の式で与えられる。
$$I = \frac{V_{0}}{R_{0}+R}$$