テブナンの定理とは?例題も交えて分かりやすく解説しました!

テブナンの定理

こんにちは!くるです!

前回は重ね合わせの理を説明しましたが、今回も新しい定理の「テブナンの定理」というものを説明していきます。前回の記事はこちら「重ね合わせの理ってどんな定理?短絡や開放をする理由も分かりやすく解説!

テブナンの定理は初見だとちょっと良く分からない定理なので、この記事で重要なポイントを掴んでもらいたいです(*’ω’*)

テブナンの定理って?

導入

いきなりですが、次の図のような回路において抵抗$R$に流れる電流$I$を求めるにはどうすればいいでしょうか?

くるる
くるる

キルヒホッフの法則を使えば求まる気がするっす!

重ね合わせの理でも求まる気がするなぁ。

ポンタ
ポンタ

その通り。この2つどちらを使っても電流$I$を求めることが出来ます。

でも実は他にも電流$I$を求める方法がいくつか存在し、その中の1つが今回説明する「テブナンの定理」です。

テブナンの定理の簡単な説明

さて、さっきの回路は一旦忘れて、次の図のような回路の電流$I$を求めることを考えましょう。

テブナンの定理を使うためには、上の図において、ある値を2つ求めないといけません。それが次の図で示されている端子$ab$間の電圧$V_{0}$と回路全体の抵抗$R_{0}$です。

回路全体の抵抗$R_{0}$とは?

回路全体の抵抗$R_{0}$が良く分からないかもしれませんが、これは端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗のことです。

そして、端子$ab$間の電圧が$V_{0}$で、回路全体の抵抗が$R_{0}$であるならば、以下のようなことが言えるはずです。

右側の回路において、端子$ab$間の電圧は$V_{0}$で、回路全体の抵抗は$R_{0}$であるため、この変形は正しいことが分かります。

 どうして端子$ab$間の電圧は$V_{0}$になるの?

$R_{0}$で電圧降下が起きるため、端子$ab$間の電圧は$V_{0}$ではないのではないかと思うかもしれませんが、端子$ab$間は開放されているため、電流が流れず、$R_{0}$で電圧降下が起きません。なので端子$ab$間の電圧は$V_{0}$です。

このような変形が出来るならば、抵抗$R$を繋いだ回路も次のように変形できるはずです。

この変形が出来れば、オームの法則より、

$$I = \frac{V_{0}}{R_{0}+R}$$

となり、電流$I$を求めることが出来ます。この一連の流れがテブナンの定理のやりたいことです。

テブナンの定理

ある回路の集まりに繋がる端子$ab$間の電圧を$V_{0}$、その回路全体の抵抗を$R_{0}$とすると、端子$ab$に繋いだ抵抗$R$に流れる電流は次の式で与えられる。

$$I = \frac{V_{0}}{R_{0}+R}$$

くるる
くるる

なんとなく分かった気がするっす!

テブナンの定理の使い方

では例題を使ってテブナンの定理の使い方を説明していきます。ちなみにこの回路は最初に見せた回路です。

次の回路において、抵抗$R$に流れる電流$I$を求めよ。

ステップ1 端子$ab$間の電圧$V_{0}$を求める

まずは、抵抗$R$を切り離して次のような回路を考えます。

キルヒホッフの第二法則より

$$E_{1}-R_{1}I-R_{2}I-E_{2} = 0$$

となり、これを解くと、

$$I = \frac{E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

となります。よって、端子$ab$間の電圧$V_{0}$は

$$V_{0} = E_{1}-R_{1}I = E_{1}-R_{1}\frac{E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$$

と求めることが出来ます。

ステップ2 回路全体の抵抗$R_{0}$を求める

回路全体の抵抗とは、「端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗」のことである。

この回路の場合、抵抗$R_{1}と$R_{2}$が並列接続されているため、

$$R_{0}=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

と簡単に求まります。

ステップ3 テブナンの定理を適用

ステップ1,2より図のような回路の変形が出来る。

よって、テブナンの定理の定理より、

$$I = \frac{V_{0}}{R_{0}+R} = \frac{\frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+R} = \frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}R_{2}+R(R_{1}+R_{2})} = \frac{E_{1}R_{2}-E_{2}R_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$$

となり、電流$I$を求めることが出来ました。今回はここまで!

お疲れ様でした!

先生
先生

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