こんにちは、krです。今回は「フーリエ変換と逆フーリエ変換の公式の導出」を分かりやすく解説します！
フーリエ変換の公式の導出
フーリエ変換の公式の導出が良く分からないっす…。教科書の導出は難しすぎるっすよ！
厳密性を重視するのは分かるけど、もっと分かりやすくしてほしいよね…
良く分かります、その気持ち。厳密にやろうとしすぎて、結局何がしたいのか分からない教科書が多いんですよね…。なので、今回は出来る限り簡単に理解できるように、難しいことは全て省いてフーリエ変換の公式の導出を説明します！
ステップ１ 複素フーリエ級数展開の式を用意する
まずは、複素フーリエ級数展開の式を思い出しましょう。以下の式は周期$2L$の関数における複素フーリエ級数展開の式です。
フーリエ変換の公式はこの式から導出することが出来るのです！
複素フーリエ展開とフーリエ変換にはどんな関係があるんすか？
複素フーリエ級数展開は「周期を持つ」関数にのみ使える方法です。でも、実際には周期を持たないような関数もありますよね？出来ればそのような関数も波の和に分解したい。
だから「周期を持たない＝周期が無限」と考えることにしたのです。そうすると、複素フーリエ級数展開と同じ要領で出来そうですよね？
なので、感覚としては、「周期を無限と考えた複素フーリエ級数展開 ＝ フーリエ変換・フーリエ逆変換」という感じです。
ステップ２ ステップ１の2式を1つにまとめる
複素フーリエ級数の一般式に複素フーリエ係数の公式を代入します。すると、次のような式が得られます。変数が混ざることを防ぐために、複素フーリエ係数の$x$を$t$に変えていることに注意してください。
ステップ３ 周期を無限に飛ばす準備をする
ステップ1でも言いましたが、フーリエ変換は周期を持たない関数を「周期が無限の関数」と考えます。なので、今はまだ周期が$2L$ですが、これを無限にしなくてはいけません。
そこで、次のような置き換えをしましょう。
$$\omega_n = \frac{n \pi}{L}$$
$$\varDelta \omega = \omega_{n+1}-\omega_n = \frac{\pi}{L}$$
この2式を使ってステップ２の式を次のように書き変えます！
これで周期を無限に飛ばす準備が出来ました。どうしてこんな置き換えをしたかと言うと、最後の$\varDelta \omega$が欲しかったからです。
ステップ４ 周期を無限に飛ばす
さて、周期を無限に飛ばしていくのですが、その前にまず、次のような操作をしましょう。
括弧の中のごちゃごちゃした式を$G(\omega_n)$と置いただけです。これについては深く考える必要はありません。この式のやっていることは次の図のようにイメージできます。
そして、周期を無限に飛ばす、つまり$L \rightarrow \infty$とするわけですが、$\varDelta \omega = \frac{\pi}{L}$より、$\varDelta \omega \rightarrow \infty$も「周期を無限に飛ばす」という意味を持つことが分かります。
つまり、周期を無限に飛ばすと、次のような式となるわけです。
この式のやっていることは次の図のようにイメージできます。ということは、この式って、$-\infty$から$\infty$までの積分をやってるのと同じですよね？
つまり次のようなことが言えるのです。
そして、$G(\omega)$を元の式に戻しましょう。すると次のような式が最終的に得られます。
これで周期を無限に飛ばすことが出来ました。
ステップ５ フーリエ積分公式からフーリエ変換を導く
これが最後の作業です！ステップ４で得られた式の一部を次のように置換します。
そして、この$F(\omega)$がフーリエ変換の公式で、$f(x)$が逆フーリエ変換の公式です。
また、これらの公式は$F(\omega)$の置換の仕方によって3つの流派が存在します。例えば、次のように置換すると、
各公式は次のようになります。
さらに、$\frac{1}{2\pi}$を$\frac{1}{\sqrt{2} \pi}$の積に分解して置換すると、
各公式は次のようになります。
基本的にどの流派でも大丈夫なのですが、教授の流派に合わせた方が良いと思います。
以上です！以下の記事もぜひご覧ください！
・複素フーリエ級数の一般式
$$f(x) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{\frac{in \pi x}{L}}$$
・複素フーリエ係数
$$\begin{eqnarray} c_n = \frac{1}{2L} \displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)e^{\frac{-in \pi x}{L}} \ dx \end{eqnarray}$$