フーリエ係数とは何なのか?求め方を徹底解説!【なんとなく学ぶフーリエ解析】

フーリエ係数

こんにちは!くるです!今回は

・フーリエ係数って何?

・フーリエ係数の導出の方法を簡単に教えてほしい!

・フーリエ係数って結局何を表しているの?

という方たちのために、分かりやすく「フーリエ係数とは何なのか?」を解説します。

フーリエ級数展開について分かっていないと理解が難しいので、まずは「フーリエ級数展開の概要をサクッと解説!」をご覧ください。

この記事のまとめ

・「フーリエ係数」を求める→「フーリエ級数の一般式」に当てはめる→「フーリエ級数展開」の完成

フーリエ係数の公式(周期$2 \pi$の関数に限る)

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cosnx \ dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sinnx \ dx$$

$$a = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \ dx$$

フーリエ係数とは?

くるる
くるる

フーリエ係数ってそもそも何なんすか?

説明しましょう!

先生
先生

フーリエ級数の一般式は次のようなものでした。教科書では$a$が$\frac{a_0}{2}$になっていますが、これについては後述しているので、そちらを確認してください。

この式の$a_n$, $b_n$がフーリエ係数です。「フーリエ級数」の「係数」だから「フーリエ係数」なんです。

このフーリエ係数はフーリエ級数展開において一番重要なんです。何でかって言うと、フーリエ級数展開は次のような流れになっているからです。

つまり、フーリエ係数を求めればフーリエ級数展開が出来たも同然なんです!だから、一番重要なんですよ。

でもその分、フーリエ係数を理解するのは結構難しいです。何が難しいって、フーリエ係数には公式があるのですが、この公式の導出が結構厄介なんです…。

公式の導出は後でやりますが、とりあえずどんな公式なのかを見てみましょう。こちらです。

「$a_0$の導出は無いの?」と思うかもしれませんが、あれは厳密にはフーリエ係数ではないので、ここには入れていません。ですが、導出はこちらで解説しています。

また、の公式は周期$2 \pi$の関数でしか使えません。それ以外の関数ではこの公式を拡張した公式を使います。ただ、今はそんな深く考えなくていいです。

公式の導出を解説します!

先生
先生

フーリエ係数の公式の導出

三角関数に関する重要な公式

フーリエ係数の公式を導出する前に、導出で必須となる三角関数に関する超重要な公式をご紹介します。こちらです。

簡単に言えば、

$cosmx × cosnx$は$m \neq n$のときは$0$ですよ~

$sinmx × sinnx$は$m \neq n$のときは$0$ですよ~

$sinmx × cosnx$はどんなときも絶対$0$ですよ~

って言ってるだけです。

この公式の導出自体はここではそんなに重要ではないため、具体的な導出はしません。気になる方は「数学の庭 高校数学を丁寧に解説」さんの「三角関数の直交性」をご覧ください。

$a_n$の導出

それでは具体的に導出していきます。まずは$a_n$から!

➀ フーリエ級数の一般式の両辺に$cosmx$を掛ける

フーリエ級数の一般式は次のようなものでした。この式を色々変形して$a_n$の式にするのが目標です。

この式の両辺に$cosmx$を掛けると次のようになります。

くるる
くるる

どうして$cosmx$を掛けるんすか?

$cosmx$を掛けると$b_n$の項がうまく消えるからです。とりあえず最後まで見れば分かります。

先生
先生

② 両辺の積分を取る

➀で得た結果の式の両辺の積分を取ります。

ポンタ
ポンタ

どうして積分範囲が$-π \leq x \leq π$なの?

先ほど説明した三角関数の重要な公式が使えるからです!

先生
先生

③ $\int$と$\sum$を入れ替える

さて、右辺を次のように変形します。

Σと∫の入れ替えなんてできるの??」と思うと思いますが、出来るんです。次の画像を見れば何となく分かると思います。

実はもっと複雑な話のようですが、ここでは「Σと∫は入れ替えられる」とだけ覚えておきましょう!

先生
先生

④ 三角関数の公式を使って計算する

③より次のような式が得られました。

右辺第2項に注目してください。先ほど説明した三角関数の公式が使えそうじゃないですか?公式を今一度確認しましょう。

この公式より、次のようなことが言えます。$n$と$m$が逆ですが、どっちでもいいので気にしないで大丈夫です。

この関係より、③で得た結果を次のように変形することが出来ます。右辺第1項の$cosmx$の積分は対称性から瞬時に$0$だと分かります。

よって、$m$を$n$に変えて、

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cosnx \ dx \quad (n=1,2, \cdots)$$

となります。

くるる
くるる

1つ目のフーリエ係数を求めることが出来たっす!

$b_n$の導出

$b_n$も$a_n$の導出とほぼ同じです。なので、簡潔に書きます。

➀ フーリエ級数の一般式の両辺に$sinmx$を掛ける

まず、フーリエ級数の一般式を用意します。

ここで、先ほどは両辺に$cosmx$を掛けましたが、今度は$sinmx$を掛けます。

ポンタ
ポンタ

$sinmx$を掛ける理由はさっきと同じで計算がうまくいくからですよね?

その通り!

先生
先生

② 両辺の積分を取る

➀の結果の式の両辺の積分を取ると次のようになります。

積分範囲が$-π \leq x \leq π$である理由は$a_n$のときと同じです。

③ $\int$と$\sum$を入れ替える

②で得た結果の式の右辺を次のように変形します。

④ 三角関数の公式を使って計算する

次の三角関数の公式を使って積分を計算します。

計算すると、次のようになります。右辺第1項の$sinmx$の積分は対称性から瞬時に$0$だと分かります。

よって、$m$を$n$に変えて、

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sinnx \ dx \quad (n=1,2, \cdots)$$

となることが分かりました。

ポンタ
ポンタ

これでフーリエ係数を両方導出することが出来たね!

$a$の導出

さて、フーリエ係数を導出することはできましたが、$a$だけがまだ謎のまま残っていますよね。

実はこれもフーリエ係数の導出と同じように求めることが出来るのです。

➀ 両辺の積分を取る

まずフーリエ級数の一般式を用意します。

今まではここで$cosmx$や%sinmx$を掛けていましたが、今回は何も掛けません!そのままの状態で両辺の積分を取ります。

② $\int$と$\sum$を入れ替える

ここは、今までと同じです。

③ 計算する

今回は三角関数の公式は使う必要がなく、簡単に次のように求めることが出来ます。

よって、

$$a = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$

となります。

ここで$a_n$の公式を思い出してみましょう!

先生
先生

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cosnx dx$$

という式が$a_n$の公式でした。今、$n=0$とすると、

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$

となり、この結果より、「$a=\frac{a_0}{2}$」という関係式が成り立ちます。よって、

$$a = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$

となります。この計算過程をすっ飛ばしていきなり$\frac{a_0}{2}$が当然のように書かれている教科書も多いんじゃないかと思います。

まとめ

今回の内容を簡単にまとめておきました。フーリエ係数の導出を長々と説明しましたが、意味を理解出来さえすれば、公式を覚えておくだけで大丈夫です。

・「フーリエ係数」を求める→「フーリエ級数の一般式」に当てはめる→「フーリエ級数展開」の完成

フーリエ係数の公式

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cosnx dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sinnx dx$$

$$a = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$

フーリエ級数展開

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