偶関数と奇関数のフーリエ級数展開を簡単に解説!(フーリエ余弦級数/正弦級数)【なんとなく学ぶフーリエ解析】

こんにちは!くるです!

今回は「偶関数と奇関数におけるフーリエ級数展開」を解説していきます。

なぜ「偶関数と奇関数」という特定の関数についてわざわざ解説するのかというと、一言で言えば「計算がめちゃくちゃ楽!」だからです。

この記事のまとめ

偶関数 = グラフが$y$軸に対して対称な関数
 奇関数 = グラフが原点に対して対称な関数

・$f(x)$が偶関数のとき $\displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx = \frac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx$
 $f(x)$が奇関数のとき $\displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx = 0$

フーリエ余弦級数 = $cos$だけのフーリエ級数
 フーリエ正弦級数 = $sin$だけのフーリエ級数

偶関数・奇関数とは?

まずは偶関数と奇関数とは何者かを解説しましょう。知っている方は軽い復習のつもりで。

偶関数は「グラフが$y$軸に対して対称な関数
奇関数は「グラフが原点に対して対称な関数

です。例として、$y=cosx$は偶関数、$y=sinx$は奇関数です。グラフを見てみましょう。

くるる
くるる

確かに偶関数は$y$軸に対して対称で、奇関数は原点に対して対称っすね~!

また、

偶関数×偶関数偶関数
偶関数×奇関数奇関数
奇関数×奇関数偶関数

という性質があり、これは偶関数を$x^2$、奇関数を$x^3$で考えてみるとすぐに分かると思います。

偶関数・奇関数の積分の重要な性質

例えば、$\displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx$という積分を考えましょう。$f(x)$が偶関数のときと奇関数のときの積分値は次のようになります。

これは実際に$y=cosx$と$y=sinx$を$-\pi~\pi$で積分すれば簡単に分かります。

この性質が今回の最大のポイントです!

先生
先生

偶関数・奇関数のフーリエ級数展開

それでは、偶関数・奇関数をフーリエ級数展開するとどうなるかを考えてみましょう。

フーリエ級数展開は次のような流れでした。

つまり、フーリエ係数を求めればフーリエ級数展開は終わったも同然です。

ということでまずは、フーリエ係数を求めなければなりません。フーリエ係数の公式は次の通りです。(ここでは簡単のため周期$2\pi$の関数に限定します)

ここ注目してほしいんですけど、$cosnx$は偶関数、$sinnx$は奇関数ですよね?

で、今は偶関数と奇関数のフーリエ級数展開を考えてるんで、$f(x)$は偶関数か奇関数ですよね?

ということは?

ポンタ
ポンタ

さっきの「偶関数・奇関数の積分の重要な性質」が使えるってことだね!

その通り!

先生
先生

$f(x)$が偶関数のとき、奇関数のときをそれぞれ見てみましょう。

偶関数のとき

$f(x)$が偶関数であれば、「偶×偶=偶」、「偶×奇=奇」の関係より、フーリエ係数は次のようになります。

くるる
くるる

$b_n$が消えちゃったっす!

このフーリエ係数をフーリエ級数の一般式に当てはめると、

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_n cosnx$$

となりました。このフーリエ級数のことを「$cos$だけのフーリエ級数」という意味から「フーリエ余弦級数」と言います。

奇関数のとき

$f(x)$が奇関数であれば、「奇×偶=奇」、「奇×奇=偶」の関係より、フーリエ係数は次のようになります。

ポンタ
ポンタ

今度は$a_n$が消えちゃったよ!

このフーリエ係数をフーリエ級数の一般式に当てはめると、

$$f(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^\infty b_n sinnx$$

となりました。このフーリエ級数のことを「$sin$だけのフーリエ級数」という意味から「フーリエ正弦級数」と言います。

このように、「偶関数・奇関数のフーリエ級数展開」は普通よりも簡単に求めることが出来るのです。

先生
先生

偶関数・奇関数への拡張

こんなに簡単にフーリエ級数展開を求めることが出来るのであれば、それを利用しない手はありません。

そのために、関数を偶関数・奇関数へ「拡張」してフーリエ級数を求めるという方法が開発されました。

例えば、$y=-x+\pi \quad (0 \leq x \leq \pi)$という関数を考えてみましょう。グラフは次のようになります。

ここで、$y=x+\pi \quad (-\pi \leq x \lt 0)$という関数を新たに定義すると、次のようなグラフになります。

このように、与えられた関数に加え、新たな関数を定義することで、偶関数・奇関数の関数を作ることを「拡張」といいます。

今回の例の関数は偶関数になるので、

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: image-73-e1620311876909.png

より、$a_n$を求めればいいだけになるのです。

これが偶関数・奇関数への拡張です。

先生
先生

まとめ

今回の内容を簡単にまとめておきます。フーリエ正弦級数・余弦級数はテストでも結構狙われるところなので、しっかりとマスターしておきましょう!

偶関数 = グラフが$y$軸に対して対称な関数
 奇関数 = グラフが原点に対して対称な関数

・$f(x)$が偶関数のとき $\displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx = \frac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx$
 $f(x)$が奇関数のとき $\displaystyle \int_{-\pi}^{ \pi } f(x) dx = 0$

フーリエ余弦級数 = $cos$だけのフーリエ級数
 フーリエ正弦級数 = $sin$だけのフーリエ級数

シェアしてね!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です