行列の簡約化

行列の簡約化
眼鏡
眼鏡

むむむ・・・難しそうですね

簡約化とは?

簡約化とは例えば図のような行列にすることです。

ポイントは主に2つ!

すべての行の0を除いた最初の数字が1

各行の先頭の1がある列の他の数字はすべて0

この2つを満たすように行列を変形していくのが簡約化なのです!

計算方法

さて実際に計算をしながら、簡約化のやり方を学んでいきましょう!

例題

$$\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

を簡約化せよ

【ステップ1】行列を並び替える

慣れてくると、いちいち並び替えなくても出来るようになりますが、初心者のうちは並び替えた方が計算ミスが少なくなります。

【ステップ2】1列目が一番上以外0になるようにする

図のように、まずは1列目を行基本変形で計算します。

【ステップ3】3行目から2行目を2で割ったものを引く

普通なら、2行目の-6が1になるように計算するのですが、今回は2行目が3行目を-2倍したものでしたので、ここでうまく消すことが出来ます。

【ステップ4】順番を入れ替える

ここも慣れてきたら一気に計算できますが、最初のうちは丁寧にいきましょう

【ステップ5】2列目を2行目以外0にする

今回はうまく、3列目も0になったので、これで簡約化が出来ました。

簡約化のコツ

簡約化には色々とコツがあり、慣れてくればこのコツを使って今よりも何倍も速く簡約化が出来るようになります。

並び替える

これは基本中の基本です。例えば、先ほどの例題を使うと

$$\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

というのは並び替えなくても計算は出来るのですが、絶対にいつか計算ミスをします。もうこれは断言できます。

並び替えるという動作と計算するという動作を同時に行うと、頭がパンクしてしまうのですよ。

なので、並び替えは絶対に行ってください!少なくとも今のうちは!

倍数を意識する

これも例題を使うのですが、

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -6 & 2 & -8 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}

という行列、本来ならば2列目全体を-6で割るというのが普通なのですが、今はその下に同じ3の倍数の3があります。

こういう場合は2列目を2で割ることで、そのままの形で引き算できちゃうのです。

なので、行基本変形をするときは、どこかに倍数の行はないかを探す癖を付けましょう

これ、行列が大きくなったり計算が面倒くさくなってくるとつい忘れてしまうので、ぜひとも覚えておいてください!

迷ったら1にする

計算が面倒くさくなりそうなとき、ついつい、

何かうまい解き方があるんじゃないか・・・

と考えてしまうのが常ですが、ある程度考えて何も思いつかないときは、素直に1が作れるように割り算してしまいましょう。

分数が出て面倒くさくなってしまうと思いますが、やろうと思えば解けます。ただ、出来る限り分数は出ないように心掛けないといけないですけどね(;^ω^)

最後に:簡約化は量をこなすのが大事!

簡約化は何よりも量をこなして、どういうパターンがあるのか、どうやって計算すれば速く解けるかを実際に経験してみるのが一番大事です!

量をこなせばこなすほど解くのも速くなって楽しくなってきますので、頑張って計算練習を重ねてください!

くるる
くるる

最後まで見てくれてありがとうっす!

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