こんにちは、krです。今回は
簡約化って何？？まだ線形代数始まったばかりなのに難しすぎるよ！！
と焦っている方のために「行列の簡約化のやり方＆コツ」を分かりやすく解説します。
簡約化とは？
簡約化とは次のような行列の変形をすることです。簡約化された行列を「簡約な行列」といいます。
簡約な行列が満たすべき性質
「各行の最初の数字($0$以外)」のことを「主成分」といいます。この後の性質の説明で使うので覚えておいてください。
簡約な行列が満たすべき性質は4つあります！
各行の主成分が1（0だけの行は除く）
主成分がある列の他の数字はすべて0
各行の主成分が右下向きに階段状に並んでいる
0だけの行は一番下
この４つを満たすように行列を変形していくのが簡約化なのです！
簡約化のやり方
さて実際に計算をしながら、簡約化のやり方を学んでいきましょう！
今回は以下の行列の簡約化を6ステップに分けて説明します。
$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$
【ステップ１】行を並び替える
1列目の数字の小さい順に行を並び替えます。1列目が0の行は一番下におきます。
慣れてくると、いちいち並び替えなくても出来るようになりますが、初心者のうちは並び替えた方が計算ミスが少なくなります。
【ステップ２】1行目以外の行の1列目を０にする
行基本変形を加えて、1行目以外の行の1列目を０にします。
【ステップ３】2行目または3行目の主成分を１にする
次に、2行目または3行目の主成分を1にします。今回は3行目がちょうど2で割れるので、3行目を1にして、2行目と入れ替えました。
慣れてくれば一気に計算できますが、最初のうちは計算ミスを減らすために1つ1つやっていくのがおすすめです。
【ステップ４】2行目以外の行の2列目を０にする
ステップ2と同様に、2行目以外の行の2列目を０にします。
【ステップ５】3行目の主成分を1にする
残りの3行目の主成分を1にします。分数が出てきて不安になりますが、自分を信じて進みましょう。
【ステップ６】3行目以外の行の3列目を０にする
ステップ２,４同様、3行目以外の行の3列目を０にします。
これで簡約な行列の完成です。
やっとできたっす！
簡約化のコツ
簡約化には色々とコツがあり、慣れてくればこのコツを使って今よりも何倍も速く簡約化が出来るようになります。
行を並び替える
これは基本中の基本です。例えば、先ほどの例題では次のような並び替えを行いました。
並び替えをせずに、一気に計算する場合、
こういう計算になりますが、このやり方は最初のうちはやらない方が良いです。
というのも、「並び替える」という動作と「計算する」という動作を同時に行うため、頭がパンクしてしまい、計算ミスを引き起こすからです。
というか、多分並び替えてから計算するほうが計算が楽だと感じると思います。
倍数を意識する
例えば、以下のような行列を考えてみましょう。
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -6 & 2 & -8 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}
普通ならば、2行目もしくは3行目を割って主成分を1にするのですが、この行列は-6と3という3の倍数の数字が並んでいます。
こういう場合は「2行目を2で割り、3行目と足す」、もしくは、「3行目に2をかけて、2行目と足す」ことで、分数を作らずに計算することが出来ます。
なので、行基本変形をするときは、どこかに倍数の行はないかを探す癖を付けましょう
これ、行列が大きくなったり計算が面倒くさくなってくるとつい忘れてしまうので、ぜひとも覚えておいてください！
迷ったら１にする
面倒くさい計算になりそうなとき、ついつい、
「何かうまい解き方があるんじゃないか・・・」
と考えてしまうかもしれませんが、ある程度考えて何も思いつかないときは、素直に主成分が1になるように割り算してしまいましょう。その方が結果的に速いと思います。
分数が出て面倒くさくなってしまうと思いますが、やろうと思えば解けます。ただ、出来る限り分数は出ないように心掛けないといけないですけどね(;^ω^)
まとめ
今回は「行列の簡約化のやり方とコツ」を解説しました。
簡約化は何よりも量をこなして、どういうパターンがあるのか、どうやって計算すれば速く解けるかを実際に経験してみるのが一番大事です！
量をこなせばこなすほど解くのも速くなって楽しくなってきますので、頑張って計算練習を重ねてください！
ステップ3の最後とステップ4の始めの行列において、3行2列目の「5」は「-5」の間違いだと思います。
計算していておかしいなと思ったので指摘させていただきました。
このサイトのおかげで簡約化のやり方がわかりました。ありがとうございました。
ご指摘ありがとうございます！
修正しましたm(__)m