行列の簡約化のやり方を分かりやすく解説!

行列の簡約化

簡約化とは?

簡約化とは例えば図のような行列にすることです。

ポイントは主に2つ!

すべての行の0を除いた最初の数字が1

各行の先頭の1がある列の他の数字はすべて0

この2つを満たすように行列を変形していくのが簡約化なのです!

計算方法

さて実際に計算をしながら、簡約化のやり方を学んでいきましょう!

例題

次の行列を簡約化せよ。

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

【ステップ1】行列を並び替える

慣れてくると、いちいち並び替えなくても出来るようになりますが、初心者のうちは並び替えた方が計算ミス少なくなります。

【ステップ2】1列目を1行目以外0にする

図のように、まずは1列目を行基本変形で計算します。

【ステップ3】2行目に1を作る

今度は、2行目か3行目の先頭を1にします。今回は3行目がちょうど2で割れるので、3行目を1にしました。

また、先頭を1にした3行目を2行目と入れ替えます。こうすることで、無駄な計算ミスを減らせます。

【ステップ4】2列目を2行目以外0にする

2行目を何倍かして、2列目を2行目以外0にしてしまいましょう。

【ステップ5】3行目に1を作る

残りの3行目の先頭の数字を1にします。分数が出てきて不安になりますが、自分を信じて進みましょう。

【ステップ6】3列目を3行目以外0にする

最後は3列目を3行目以外0にします。

これでようやく行列を簡約化することが出来ました(*’ω’*)

簡約化のコツ

簡約化には色々とコツがあり、慣れてくればこのコツを使って今よりも何倍も速く簡約化が出来るようになります。

並び替える

これは基本中の基本です。例えば、先ほどの例題を使うと

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

というのは並び替えなくても計算は出来るのですが、絶対にいつか計算ミスをします。もうこれは断言できます。

並び替えるという動作と計算するという動作を同時に行うと、頭がパンクしてしまうのですよ。

なので、並び替えは絶対に行ってください!少なくとも今のうちは!

倍数を意識する

例えば、以下のような行列を考えてみましょう。

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -6 & 2 & -8 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}

普通ならば、2行目もしくは3行目の先頭を1にするのですが、この行列は-6と3という3の倍数の数字が並んでいます。

こういう場合は「2行目を2で割り、3行目と足す」、もしくは、「3行目に2をかけて、2行目と足す」ことで、分数を作らずに計算することが出来ます。

なので、行基本変形をするときは、どこかに倍数の行はないかを探す癖を付けましょう

これ、行列が大きくなったり計算が面倒くさくなってくるとつい忘れてしまうので、ぜひとも覚えておいてください!

迷ったら1にする

計算が面倒くさくなりそうなとき、ついつい、

何かうまい解き方があるんじゃないか・・・

と考えてしまうのが常ですが、ある程度考えて何も思いつかないときは、素直に先頭に1が作れるように割り算してしまいましょう。

分数が出て面倒くさくなってしまうと思いますが、やろうと思えば解けます。ただ、出来る限り分数は出ないように心掛けないといけないですけどね(;^ω^)

最後に:簡約化は量をこなすのが大事!

簡約化は何よりも量をこなして、どういうパターンがあるのか、どうやって計算すれば速く解けるかを実際に経験してみるのが一番大事です!

量をこなせばこなすほど解くのも速くなって楽しくなってきますので、頑張って計算練習を重ねてください!

くるる
くるる

最後まで見てくれてありがとうっす!

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