行列の基本変形（行基本変形）を分かりやすく解説します！

こんにちは、krです。今回は

行列の基本変形ってのを習ったけど意味が分からん…

という学生に向けて、行列の基本変形とは一体何なのか？どうしてこんな変形が出来るのか？を解説します！

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2024.01.29

行列の基本変形とは？

行列の基本変形とは簡単に言えば「行列を変形するときの基本的な操作」のことです。

行列の基本変形は以下の3つの操作のことを言います。

行列の基本変形

・ある行を$c$倍する(ただし、$c \neq 0$)
・行を入れ替える
・ある行に他の行の$c$倍を加える

1つずつ説明します。

ある行を$c$倍する(ただし、$c \neq 0$)

例えば、1行目を$c$倍すると、次のようになりますね。$0$倍はできません。また、列を$c$倍はできません。

行を入れ替える

例えば1行目と2行目の入れ替えは次のようになります。これも列の入れ替えはできません。

ある行に他の行の$c$倍を加える

例えば、1行目に2行目の2倍を加えると次のようになります。これも他の2つ同様、列に列を加えることはできません。

行列の基本変形はこんな感じです。でも、そもそも何でこんな操作ができるのか分からないですよね？なので、

行列の基本変形の意味やなぜこんな変形ができるのかを3ステップで説明します。

先生

ただ、先に言っておくと、

です。

行列の基本変形が出来る理由の解説

【ステップ１】連立方程式の基本変形

次のような連立方程式の解を求めることを考えてみましょう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 8 \\ 2x – y = 4 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

連立方程式の基本変形とは次の3つの操作のことであり、これらを繰り返し行うことで解を求めることが出来ます。

連立方程式の基本変形

・ある式を$c$倍する(ただし、$c \neq 0$)
・式を入れ替える
・ある式に他の式の$c$倍を加える

恐らく、実際には「2つの式を足したり引いたりして、片方の答えが出たら代入してもう一方を求める」という感じで解いていると思いますが、今は一旦目を瞑ってください。

さて、この3つの操作で例題の連立方程式を解くと、次のようになります。

くるる

な、なんだか気持ち悪い解き方っすね…

そうなんです。でも、行列の基本変形を説明するにはこうするしかないのです。

先生

とりあえずは

・ある式を$c$倍する(ただし、$c \neq 0$)
・式を入れ替える
・ある式に他の式の$c$倍を加える

の３つの操作で連立方程式が解けるということを理解しましょう。

【ステップ２】連立方程式を行列に変換する

さて、先ほどの連立方程式を解く過程を行列に変換してみましょう。次のようになります。

行列がまだよくわかっていないと思うので、軽く説明しておくと、次のようなものを「拡大係数行列」と呼び、簡単に言えば「連立方程式の係数だけを取り出してまとめたやつ」です。

難しいことは考える必要がなくて、「ただ係数をまとめただけ」と理解しておきましょう。

【ステップ３】行列の基本変形

さて、連立方程式を行列に変換しましたが、行列部分だけを抜き出してみましょう。

この計算の過程で行われている操作が行列の基本変形です。そして、この操作は元々連立方程式の基本変形でした。

つまり、次のような操作のことを「行列の基本変形」と呼ぶわけです。「式」を「行」に変えていますが、要は同じことです。

行列の基本変形

・ある行を$c$倍する(ただし、$c \neq 0$)
・行を入れ替える
・ある行に他の行の$c$倍を加える

記事の最初でこんなことを言ってましたが、なぜこんなことが言えるのか分かったでしょうか？

このように、行列の基本変形だけを見ると、どうして行列を勝手に変形出来るんだ？？そもそも何で変形する意味があるの？？と思うかもしれませんが、実際は「連立方程式を解くときに使う操作を行列に置き換えただけ」なんです。

お分かりいただけたでしょうか？

先生