・クーロンの法則を拡張したようなものだよ
・電荷分布が３次元で対称じゃないと使えないよ
いまいちイメージできないんすよね～…
簡単に言うと
めっちゃ簡単に言えば、ガウスの法則は
点電荷Ｑの持ってるエネルギーは、空間内で減ったり増えたりしないよ
って法則です。
力学的エネルギー保存の法則ってあるじゃないですか？イメージはそんな感じです。
(‘ω’) 三 ( ε: ) 三 (. .) 三 ( :з ) 三 (‘ω’)
詳しく言うと
ガウスの法則は、ちゃんと説明すると「点電荷Ｑから出る電気力線の本数は、点電荷を囲む閉曲面Ｓを通過する電気力線の本数と等しいよ」という法則です。
イメージとしてはこんな感じ
点電荷Ｑから電気力線が８本出ているとします。Qの周りを閉曲面Ｓで囲ったときに、閉曲面Ｓを通過する電気力線の本数も８本ですよね？
さっき言った「点電荷Ｑの持ってるエネルギーは、空間内で減ったり増えたりしない」ってのは、この電気力線をエネルギーと考えているのです。
これがガウスの法則なわけですが、言ってること自体はめちゃくちゃ簡単ですよね？
しかし、導出しようと思ったら結構厄介なのですよ・・・・
導出
ガウスの法則がどのようにして導出されたのか順番に説明していきます
最終的に、$\int_S \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} dS = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$という式を成り立たせるのが目標です。
結構難しい話なので、興味なかったら飛ばしても大丈夫です！
【ステップ１】電界を閉曲面で積分する
さて、ガウスの法則の導出の始まりはクーロンの法則です。
クーロンの法則は$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2}$が成り立つという法則ですが、ある時、ガウスはこの電界を「適当な閉曲面$S$全体で足し合わせたらどういう値になるのか」が気になりました。
そこで、図のように、微小面積$dS$に電界$E$がかかっている状況を考えましょう。
ここ少し重要なのですが、$E$の平行成分は$S$全体で足し合わせた時に0になるので、$E$の面に垂直な成分$Ecos\theta$だけを考えれば良さそうです。
すると、電界を閉曲面Sで積分したものというのは、なんとな～く
という形になる気がします。
クーロンの法則より$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2}$でしたから、
となります。
【ステップ２】立体角を考える
さて、上式の右辺の積分をしたいのですが、中身が複雑で積分が出来そうにありません。そこでガウスは考え気づきました。
立体角が使えますネ！
下図を見てください。立体角とは図の$d\varOmega$のことで、「角」と付いてますが、実際には「面積」です。
「電界$E$の方向から$dS$に光を当てた時に、$Q$を囲む半径1の単位球の表面に出来る$dS$の影」が立体角$d\varOmega$です。
ここで、$dS$の$cos\theta$成分を$dS’$とすると、$d\varOmega$と$dS’$を底面とする２つの三角錐の相似比より、$1 : r^2 = d\varOmega : dS’$となり、これから$d\varOmega = \frac{1}{r^2}dS’$と求まります。
そして、$dS’ = dScos\theta$でしたから、$d\varOmega = \frac{1}{r^2}cos\theta dS$となります。
【ステップ３】$\int_S Ecos\theta dS$の計算をする
$d\varOmega = \frac{1}{r^2}cos\theta dS$という式はステップ１の最後に出てきた式にちょうど代入することができるので、
$\int_S d\varOmega$は、立体角を$S$全体で足し合わせるということで、つまり単位球の表面積$4\pi$となるから、
そして、最後に$\mathbf{E}$と$\hat{\mathbf{n}}$の内積が$\mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} = Ecos\theta$となることを利用すると、
となり無事目標としていたガウスの法則が求められました！！
難しすぎるっす….
何となく分かれば十分です！
つまずきポイント
ガウスの法則はなぜ必要なのでしょうか？
電荷から電界を求めるための法則としてクーロンの法則があります。
このクーロンの法則は基本どんな場合であっても使うことが出来る大変汎用性の高い法則なのですが、無限長に広い平板による電界を求める場合などでは、計算が難しくなって、解くのに時間がかかってしまいます。
そんなクーロンの法則では解けない難しい問題を解くための道具が、ガウスの法則なのです。
ガウスの法則は使うための条件があるものの、その条件を満たす状況で使えば計算が凄く簡単になります。
偉大な物理学者たちも楽に計算がしたかったということです。
ガウスの法則はどんな時でも使えるんすか～？
使えません。具体的には、電荷分布がxyzの３次元において対称である必要があります。つまり、複雑な形の電荷分布だと使えませんよってことです。
球面や無限に長い平面ばっかり問題に出てくるのはそういう理由だったんすね～
初学者におすすめな参考書を調査してまとめてみました。良かったら参考にしてください。