ガウスの法則のイメージや導出を分かりやすく解説!

今回のポイント
計算を楽にするためのものだよ

クーロンの法則を拡張したようなものだよ

・電荷分布が3次元で対称じゃないと使えないよ

ブラック
ブラック

いまいちイメージできねぇんだよなぁ

簡単に言うと

めっちゃ簡単に言えば、ガウスの法則

点電荷Qの持ってるエネルギーは、空間内で減ったり増えたりしない

って法則です。

力学的エネルギー保存の法則ってあるじゃないですか?イメージはそんな感じです。

(‘ω’) 三 ( ε: ) 三 (. .) 三 ( :з ) 三 (‘ω’)

詳しく言うと

ガウスの法則は、ちゃんと言うと「点電荷Qから出る電気力線の本数、点電荷を囲む閉曲面Sを通過する電気力線の本数と等しいよ」という法則です。

イメージとしてはこんな感じ

ガウスの法則のイメージ

点電荷Qから電気力線が8本出ているとします。Qの周りを閉曲面Sで囲ったときに、閉曲面Sを通過する電気力線の本数も8本ですよね?

さっき言った「点電荷Qの持ってるエネルギーは、空間内で減ったり増えたりしない」ってのは、この電気力線をエネルギーと考えているのです。

これがガウスの法則なわけですが、言ってること自体はめちゃくちゃ簡単ですよね?

しかし、導出しようと思ったら結構厄介なのですよ・・・・

導出

ガウスの法則がどのようにして導出されたのか順番に説明していきます

最終的に、$\int_S \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} dS = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$という式を成り立たせるのが目標です。

結構難しい話っすので、興味なかったら飛ばすといいっすよ~~

くるる
くるる

【ステップ1】電界を閉曲面で積分する

さて、ガウスの法則の導出の始まりはクーロンの法則です。

クーロンの法則は$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2}$が成り立つという法則ですが、ある時、ガウスはこの電界を「適当な閉曲面$S$全体で足し合わせたらどういう値になるのか」が気になりました。

そこで、図のように、微小面積$dS$に電界$E$がかかっている状況を考えましょう。

ここ少し重要なのですが、$E$の平行成分は$S$全体で足し合わせた時に0になるので、$E$の面に垂直な成分$Ecos\theta$だけを考えれば良さそうです。

すると、電界を閉曲面Sで積分したものというのは、なんとな~く

$$\int_S Ecos\theta dS$$

という形になる気がします。

クーロンの法則より$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2}$でしたから、

$$\int_S Ecos\theta dS = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}\int_S \frac{1}{r^2}cos\theta dS$$

となります。

【ステップ2】立体角を考える

さて、上式の右辺の積分をしたいのですが、中身が複雑で積分が出来そうにありません。そこでガウスは考え気づきました。

ガウス
ガウス

立体角が使えますネ!

下図を見てください。立体角とは図の$d\varOmega$のことで、「角」と付いてますが、実際には「面積」です。

電界$E$の方向から$dS$に光を当てた時に、$Q$を囲む半径1の単位球の表面に出来る$dS$の影」が立体角$d\varOmega$です。

立体角の説明

ここで、$dS$の$cos\theta$成分を$dS’$とすると、$d\varOmega$と$dS’$を底面とする2つの三角錐の相似比より、$1 : r^2 = d\varOmega : dS’$となり、これから$d\varOmega = \frac{1}{r^2}dS’$と求まります。

そして、$dS’ = dScos\theta$でしたから、$d\varOmega = \frac{1}{r^2}cos\theta dS$となります。

【ステップ3】$\int_S Ecos\theta dS$の計算をする

$d\varOmega = \frac{1}{r^2}cos\theta dS$という式はステップ1の最後に出てきた式にちょうど代入することができるので、

$$\int_S Ecos\theta dS = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}\int_S d\varOmega$$

$\int_S d\varOmega$は、立体角を$S$全体で足し合わせるということで、つまり単位球の表面積$4\pi$となるから、

$$\int_S Ecos\theta dS = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

そして、最後に$\mathbf{E}$と$\hat{\mathbf{n}}$の内積が$\mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} = Ecos\theta$となることを利用すると、

$$\int _S \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} dS = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

となり無事目標としていたガウスの法則が求められました!!

難しくてほとんど覚えてねぇよ・・・・

ブラック
ブラック

つまずきポイント

眼鏡
眼鏡

ガウスの法則はなぜ必要なのでしょうか?

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電荷から電界を求めるための法則としてクーロンの法則があります。

このクーロンの法則は基本どんな場合であっても使うことが出来る大変汎用性の高い法則なのですが、無限長に広い平板による電界を求める場合などでは、計算が難しくなって、解くのに時間がかかってしまいます。

そんなクーロンの法則では解けない難しい問題を解くための道具が、ガウスの法則なのです。

ガウスの法則は使うための条件があるものの、その条件を満たす状況で使えば計算が凄く簡単になります。

偉大な物理学者たちも楽に計算がしたかったのですね

眼鏡
眼鏡
くるる
くるる

ガウスの法則はどんな時でも使えるんすか~?

もっと見る

使えません。具体的には、電荷分布がxyzの3次元において対称である必要があります。つまり、複雑な形の電荷分布だと使えませんよってことです。

くるる
くるる

球面や無限に長い平面ばっかり問題に出てくるのはそういう理由だったんすね~

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