こんにちは、krです。今回は「単位行列とその性質」について簡単に解説します。
単位行列とは？
単位行列(identity matrix)とは「対角成分が全て$1$で、それ以外は全て$0$な正方行列」です。（正方行列とは？）
例えば、次のような行列は単位行列です。
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
単位行列は$E$で表され、何次の単位行列か明記したいときは、$n×n$の単位行列を$E_{n}$と書きます。
$$E=E_{n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
単位行列の覚えるべき性質は1つだけ
単位行列には「任意の正方行列$A$に対して、$AE=EA=A$」という性質があります。つまり、「どんな正方行列に掛けても行列が変わらない」のです。
例えば、次のように。
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
逆から掛けても変わりません。
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
この性質から「単位行列は$1$みたいなもの」ともいえます。どんな数字に$1$を掛けても値は変わらないですよね？
とりあえず、この性質だけは覚えておきましょう！
単位行列の$n$乗
先ほどの性質から、単位行列は何乗しても単位行列です。
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
なるほど、なるほど。
単位行列は何に役立つのか？
出オチですが、単位行列自体が何かに役立つことはありません。
ただ、他の概念などを説明する際に単位行列は頻繁に利用されます。
最も有名なのは恐らく「逆行列の定義」でしょう。逆行列とは、ある$n×n$正方行列$A$に対して、
を満たすような行列$B$のことです。この$E$が単位行列ですね。
このように単位行列自体は逆行列や行列式などと違って役に立つことはありませんが、他の概念と絡めて利用されるので、必ず覚えておきましょう。
まとめ
今回は「単位行列とその性質」について解説しました。
「どんな正方行列に掛けても行列が変わらない」という性質さえ覚えていれば、単位行列については大丈夫です。
$$AB=BA=E$$