こんにちは、krです。今回は
行列の積って何？？何でこんな計算方法なの？？
という方のために、「行列の積」を分かりやすく解説します！後半では「なぜ行列の積はこんな計算方法なのか」を解説しています。
行列の積(掛け算)
色々疑問はあると思いますが、まずは計算方法を見てみましょう。
計算方法
行列の積は以下のような計算をします。
イメージは次のような感じです。
①・➀というのは「左側の行列の1行目と右側の行列の1列目の内積を取る」という意味です。
これが行列の積の計算方法です。
何だか複雑で難しいっすね…
行列の積の２つの注意点
行列の積では次に紹介する2つの注意点は最低でも覚えておくようにしましょう。
「行列$A$の列数＝行列$B$の行数」のときだけ積$AB$が定義される
例えば、先ほど例に出した
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$
は「左側の行列の列数(2)=右側の行列の行数(2)」だったので、掛け算をすることができました。
しかし、次のような場合、「左側の行列の列数(2) ≠ 右側の行列の行数(3)」なので、掛け算をすることはできません。
ではなぜ計算できないのかというと、内積が計算できないからです。次の内積って計算できませんよね。
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$
$AB \neq BA$
行列の積は基本的に入れ替えることはできません。例えば、
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 20 & 13 \end{pmatrix}$$
ですが、行列を入れ替えると、
$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 20 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$$
となり、結果が変わることが分かります。
普通の数字の掛け算$3 \times 4 = 4 \times 3$のように入れ替えても結果が同じだと勘違いしないように気を付けましょう。
$AB = BA$が成り立つ場合もある
実は、$AB = BA$は絶対に成り立たないのではなく、以下の３つの場合には$AB = BA$が成り立ちます。
単位行列のとき
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
零行列のとき
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
どちらの行列も同じ行列のべき乗のとき
これはかなり重要です。
例えば、以下のように単位行列でも零行列でもないのに、入れ替えても同じ結果になる場合があります。
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 37 & 54 \\ 81 & 118 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 37 & 54 \\ 81 & 118 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} 1069 & 1558 \\ 2337 & 3406 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
これはなぜかというと、どちらの行列も同じ行列のべき乗だからです。つまり、どういうことかというと、
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 54 \\ 81 & 118 \end{pmatrix}$$
ということです。
このように、「どちらの行列も同じ行列のべき乗」のときは、行列を入れ替えても積の結果が同じになります。
これのせいで「あれ？行列の積って入れ替えできないんじゃないの？？」と良くわからなくなってしまうんですよね。
これは気を付けないといけないね
なぜこんな計算方法なのか？
そもそもどうしてこんな面倒くさい計算方法なんすか？単純に同じ成分を掛け合わせるのじゃダメなんすか？
確かに、ただ同じ成分を掛け合わせたものを行列の積と定義しても良さそうですよね。こんな感じに。
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 16 \end{pmatrix}$$
じゃあなぜそうしないのかというと、「定義しても大して役に立たないから」です。
勘違いしないでほしいのは、こういう計算を定義することはできます。新たに「行列の積Ver.２」みたいな感じで定義はできますが、定義したところで役に立たないのです。
役に立たないってどういうことですか？
連立方程式を使って説明しましょう。
（※まだ行列の連立方程式を習っていない方には難しいかもしれません。）
例えば、次のような連立方程式を考えます。
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x &+& 2y &=& 3 \\ 4x &+& 5y &=& 6 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
これを次のように、行列にしてしまいます。意味が分からないかもしれませんが、$x+2y$と$3$、$4x+5y$と$6$がそれぞれ対応していると考えれば、「まぁこういう表し方も出来るか」と思えますよね。
$$\begin{pmatrix} x+2y \\ 4x+5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
そして、上式の左辺を、本物の行列の積を使えば次のように変形できます。
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
これの何が良いかというと、「符号と$x,y$を1個書かなくて済む」ということです。つまり、連立方程式をコンパクトに表すことが出来るんですね。
では、「偽物の行列の積Ver.２」を使うとどんな風に書けるかというと、
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ x & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
となります。役に立たないでしょ？式の数が多くなればより役立たなくなります。
例えば、次のような連立方程式の場合、
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x &+& 2y &+& 3z &=& 4 \\ 5x &+& 6y &+& 7z &=& 8 \\ 9x &+& 10y &+& 11z &=& 12\end{array} \right. \end{eqnarray}$$
本物の行列の積ならば、
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}$$
と書けますが、偽物の行列の積Ver.２の場合、
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}$$
と書かなくちゃいけません。役に立ちませんねぇ～。
これ以外にも偽物の行列の積Ver.２は、定義したところで役に立つことがほとんどなく、本物の行列の積の方が圧倒的に役に立つのです。だから、行列の積はあんな面倒くさい計算方法になってるんです。
理解できたでしょうか？
なんとなく分かりました！
まとめ
今回は「行列の積」について解説しました。
行列の積は線形代数の中でかなり重要な概念なので、必ず習得するようにしましょう。
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$