ノートンの定理ってどんな定理?例題を使って丁寧に解説!

ノートンの定理

こんにちは!くるです!

今回はテブナンの定理と対をなす定理である「ノートンの定理」について説明していきます!テブナンの定理との違いを理解しないとごちゃごちゃになってしまうので、しっかりとノートンの定理とは何かを理解してもらいたいです(*’ω’*)

テブナンの定理について知りたい方はこちらの記事をどうぞ「テブナンの定理とは?例題も交えて分かりやすく解説しました!

ノートンの定理って?

例えば、次の図のような回路を考えてみましょう。

回路の集まりっていうのは、以下の図ような回路をまとめて「回路の集まり」と呼んでいるだけです。

さて、このような回路において、端子$ab$間を導線で繋ぎ、その導線に流れる電流を測ってみると、$I_{0} [A]$の電流が流れていました。

また、この回路の集まり全体の抵抗を測ってみると、$R_{0} [Ω]$であることが分かりました。

回路の集まり全体の抵抗を求める時「電圧源は短絡、電流源は開放」することに注意しましょう!

先生
先生

回路の集まり全体の抵抗$R_{0}$とは?

端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗のことです。

また、教科書には「内部抵抗」と書かれているかもしれませんが、例えば、回路の集まりを「電池」と考えてみてください。すると、回路全体の抵抗というのは「電池の内部抵抗」を意味していると考えることが出来ますよね?まぁそういうことです。

上の2図のようなことが分かれば、「回路の集まり」の中身は次のような回路と等価であると考えられます。

くるる
くるる

端子$ab$間を導線で繋げば流れる電流は$I_{0}$っすから、合ってるっす!

回路全体の抵抗もちゃんと$R_{0}$になってるね。

ポンタ
ポンタ

そして、上の回路に次の図のように抵抗$R$を繋ぎます。

この回路において、抵抗$R$に流れる電流は$I_{R} = \frac{R_{0}}{R_{0}+R}I$で与えられるため、端子$ab$間の電圧$V$(抵抗$R$にかかる電圧ともいえる)は次のような式で与えられます。

$$V=RI_{R}=\frac{R_{0}R}{R_{0}+R}I_{0}$$

これがノートンの定理の一連の流れです。つまり、まとめると次のような感じ。

ノートンの定理

ある回路の集まりがあるとしたときに、回路から出ている端子$ab$を導線で繋ぐと電流$I_{0}$が流れ、回路の集まり全体の抵抗が$R_{0}$であるならば、回路の集まりは次のような回路と等価になる。

そして、この回路に抵抗$R$を繋いだときに端子$ab$間にかかる電圧$V$は次の式で与えられる。

$$V=\frac{R_{0}R}{R_{0}+R}I_{0}$$

ノートンの定理の使い方

では例題を使ってノートンの定理の使い方を説明していきます。

次の回路において、端子$ab$間にかかる電圧$V$を求めよ。

ステップ1 端子$ab$を短絡して、そこに流れる電流$I_{0}$を求める

まずは、抵抗$R$を切り離して、端子$ab$を短絡させた次のような回路を考えます。

まず、キルヒホッフの第一法則より、

$$I_{1}+I_{2}=I$$

次に、閉回路$S_{1},S_{2}$において、キルヒホッフの第二法則より

$$E_{1}-R_{1}I_{1}= 0$$

$$E_{2}-R_{1}I_{2}= 0$$

となるから、$I_{1}=\frac{E_{1}}{R_{1}}$, $I_{2}=\frac{E_{2}}{R_{2}}$

よって、

$$I=I_{1}+I_{2}=\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}$$

と求まる。

ステップ2 回路の集まり全体の抵抗$R_{0}$を求める

回路の集まり全体の抵抗とは、「端子$a$から端子$b$に向かって電流を流すと考えたときの回路全体の抵抗」のことです。

2つの電圧源を短絡すると、抵抗$R_{1}と$R_{2}$が並列接続されているため、

$$R_{0}=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

と簡単に求まります。

ステップ3 ノートンの定理の適用

ステップ1,2より最初の回路は次の図のような回路と等価である。

よって、ノートンの定理より、

$$V=\frac{R_{0}R}{R_{0}+R}I_{0}=\frac{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}R}{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+R}(\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}})=\frac{E_{1}R_{2}R+E_{2}RR_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R+RR_{1}}$$

となり、目的の端子$ab$間の電圧$V$を求めることが出来ました。今回はここまで!

お疲れ様でした!

先生
先生
テブナンの定理

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