基底の変換行列とは?

こんにちは、くるです。今回は「基底の変換行列」についてサクッと説明します。

基底の変換行列とは?

基底の変換行列とはその名の通り「基底がどう変換されるかを表す行列」です。

例えば、3次数ベクトル空間の基底を以下の標準基底から

$$\boldsymbol{e}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

以下の基底に変換するとしましょう。

$$\boldsymbol{a}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_{3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$$

このとき、

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{a}_{1}&=&\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{3} \\
&& \\
\boldsymbol{a}_{2}&=&2\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}+2\boldsymbol{e}_{3} \\
&& \\
\boldsymbol{a}_{3}&=&3\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}+3\boldsymbol{e}_{3} \end{eqnarray} $$

と書けるので、これを行列に直すと次のように表せます。

$$ \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} & \boldsymbol{a}_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{1} & \boldsymbol{e}_{2} & \boldsymbol{e}_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

この$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$という行列が「基底の変換行列」です。

お分かりいただけたでしょうか?

先生
先生
くるる
くるる

分かった気がするっす~

補足

教科書によっては、

$$ \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_{1}, & \boldsymbol{a}_{2}, & \boldsymbol{a}_{3}, \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{1}, & \boldsymbol{e}_{2}, & \boldsymbol{e}_{3}, \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

というようにコンマで区切ってあるかもしれませんが同じような意味です。

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