クラメルの公式を分かりやすく解説!

クラメルの公式

こんにちは、くるです。今回は「クラメルの公式」について簡単に解説します。

クラメルの公式とは?

クラメルの公式とは「連立方程式を行列式を使って解く方法」です。

まずは、2変数のクラメルの公式から説明しましょう。

2変数のクラメルの公式

例えば、

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}$$

という2変数の連立方程式の解は次のような式で得られます。

これを行列式を使って表すと次のようになります。これが2変数のクラメルの公式です。

同じように、3変数のクラメルの公式も説明します。

3変数のクラメルの公式

例えば、

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}$$

という3変数の連立方程式の解は次のような式で得られます。

これを行列式を使って表すと次のようになります。これが3変数のクラメルの公式です。

例題を解いてみましょう!

先生
先生

例題

例題1

以下の連立方程式をクラメルの公式で解け。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$

解答

クラメルの公式より、

$$\begin{eqnarray} x_{1} &=& \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{4}{2}=2 \\
& & \\
x_{2} &=& \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\frac{-8}{2}=-4 \end{eqnarray}$$

よって、$x_{1}=2, \ x_{2}=-4$

くるる
くるる

なるほど、なるほど。

例題2

以下の連立方程式をクラメルの公式で解け。

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

解答

クラメルの公式より、

$$\begin{eqnarray} x_{1} &=& \frac{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}} = \frac{-3}{1}=-3 \\
& & \\
x_{2} &=& \frac{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}=\frac{6}{1}=6 \\
& & \\
x_{3} &=& \frac{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}=\frac{-1}{1}=-1 \end{eqnarray}$$

よって、$x_{1}=-3, \ x_{2}=6, \ x_{3}=-1$

まとめ

今回は「クラメルの公式」について解説しました。

クラメルの公式は2変数や3変数の連立方程式ならば、かなり有用な手段ではありますが、それ以上になると行列式を解くのが難しくなるため、あまり役に立ちません。

結局連立方程式は「掃き出し法」で解くのが一番楽だと思います。

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