こんにちは、くるです。今回は「クラメルの公式」について簡単に解説します。
クラメルの公式とは？
クラメルの公式とは「連立方程式を行列式を使って解く方法」です。
まずは、2変数のクラメルの公式から説明しましょう。
2変数のクラメルの公式
例えば、
$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}$$
という2変数の連立方程式の解は次のような式で得られます。
これを行列式を使って表すと次のようになります。これが2変数のクラメルの公式です。
同じように、3変数のクラメルの公式も説明します。
3変数のクラメルの公式
例えば、
$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}$$
という3変数の連立方程式の解は次のような式で得られます。
これを行列式を使って表すと次のようになります。これが3変数のクラメルの公式です。
例題を解いてみましょう！
例題
クラメルの公式より、
$$\begin{eqnarray} x_{1} &=& \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{4}{2}=2 \\
& & \\
x_{2} &=& \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\frac{-8}{2}=-4 \end{eqnarray}$$
よって、$x_{1}=2, \ x_{2}=-4$
なるほど、なるほど。
以下の連立方程式をクラメルの公式で解け。
$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
クラメルの公式より、
$$\begin{eqnarray} x_{1} &=& \frac{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}} = \frac{-3}{1}=-3 \\
& & \\
x_{2} &=& \frac{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}=\frac{6}{1}=6 \\
& & \\
x_{3} &=& \frac{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}=\frac{-1}{1}=-1 \end{eqnarray}$$
よって、$x_{1}=-3, \ x_{2}=6, \ x_{3}=-1$
まとめ
今回は「クラメルの公式」について解説しました。
クラメルの公式は2変数や3変数の連立方程式ならば、かなり有用な手段ではありますが、それ以上になると行列式を解くのが難しくなるため、あまり役に立ちません。
結局連立方程式は「掃き出し法」で解くのが一番楽だと思います。
以下の連立方程式をクラメルの公式で解け。
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$