余因子行列を簡単に解説!

余因子行列

こんにちは、くるです。今回は「余因子行列」について簡単に解説します。

余因子行列とは?

余因子行列は「各成分における余因子を行列にまとめて転置した行列」です。

まずは、余因子について説明します!

先生
先生

余因子って何?

余因子は簡単に言えば「行列の各成分が持つ特別な値」です。

次の行列を使って余因子の説明をします。

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix}$$

余因子を求めるときは、まずどの成分に注目するかを決めます。今回は$(1,1)$成分の「$1$」に注目しましょう。

最初に、注目している数字の十字方向の数字を消します。

次に、残っている部分を成分とする行列式を作ります。この行列式を「小行列式」といいます。

そして、注目している数字が$i$行$j$列であるとき$(-1)^{i+j}$を小行列式の係数とします。

今回の「$1$」は$1$行$1$列なので、$(-1)^{1+1}=1$より、次のようになります。

この「$0$」が$(1,1)$成分の「$1$」における「余因子」です。

ポンタ
ポンタ

なるほどね~

余因子行列の求め方

それでは、余因子行列を求める手順を説明します。例として、以下の行列を使いましょう。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$

【ステップ1】各成分の余因子を求めて行列にまとめる

余因子行列は「各成分における余因子を行列にまとめて転置した行列」なので、まずは各成分における余因子を求めないといけません。

つまり、以下のようなことを全ての成分において行うわけです。

余因子を求めたら、余因子をまとめて次のような行列を作ります。$i$行$j$列成分の余因子を$i$行$j$列成分としています。

$$\begin{pmatrix} -3 & 2 & 5 \\ 6 & -4 & -3 \\ -4 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

【ステップ2】転置する

次に、ステップ1で求めた行列を転置します。転置すると次のようになります。

$$\begin{pmatrix} -3 & 6 & -4 \\ 2 & -4 & 5 \\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$

これが求める「余因子行列」です。

余因子行列と逆行列

くるる
くるる

余因子行列ってどこで使うんすか?

逆行列を求めるときに使います。

先生
先生

余因子行列を使えば、次のような公式で逆行列を求めることができるのです。

逆行列を求める公式

行列$A$が正則行列ならば、$A$の逆行列を$A^{-1}$、$A$の行列式を$det(A)$、$A$の余因子行列を$\tilde{A}$としたとき、 以下の式が成り立つ。

$$A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{det(A)}$$

例えば、

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を求めてみましょう。行列式と余因子行列は

$$det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix}=7$$

$$\tilde{A}=\begin{pmatrix} -3 & 6 & -4 \\ 2 & -4 & 5 \\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$

なので、

$$\begin{eqnarray} A^{-1} &=& \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -3 & 6 & -4 \\ 2 & -4 & 5 \\ 5 & -3 & 2 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} -\frac{3}{7} & \frac{6}{7} & -\frac{4}{7} \\ \frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & \frac{5}{7} \\ \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

です。

もっと詳しく知りたい方は「逆行列の求め方【行列式編】」をご覧ください。

まとめ

今回は「余因子行列」について簡単に解説しました。

余因子行列は逆行列を求めるときぐらいにしか使いませんが、かなり重要な概念なので、しっかりと理解しておきましょう。

余因子展開

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