余因子展開を簡単に解説!

余因子展開

余因子展開

まぁ余因子展開の定義をダラダラ説明してもしょうがないんで、まずは簡単な例を見てみましょう。

簡単な例

これが余因子展開です。

どうやって画像のような計算を行ったかというと、

こんな計算を行っているのです。

こうやって、「行列式を余因子の和に展開して計算する」のが余因子展開です。

意外と簡単っすねぇ~~♪

くるる
くるる

余因子展開は1通りだけではありません。例えば、

としてもいいですし、

としても結果は同じです。

つまり、どの列を軸にしても余因子展開の結果は全て同じになるというわけです。

なぜこんなことが言えるのか?

そもそも行列式には以下のような性質があります。

さらに、こんな性質もあります。

なぜ2つ目の行列の符号が「-」になるのか疑問に思う方もいるかもしれませんが、「計算の都合を合わせようとするとそうなった」だけです。つまりそういうもんなのです。

このような性質から、成り立つのが余因子展開なのです。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: image-176.png

余因子展開のメリット

余因子展開最大のメリットは「三次以上の行列式が解ける」ことです。

例えば、

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 & 3\\ 3 & 0 & 1 & 6\\ 1 & 4 & 3 & 3\\ 8 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}

という四次行列式を考えましょう。

四次行列式には公式的なものはなく、定義に従ってやれば無理やり展開できなくもないですが、かなり面倒です。

眼鏡
眼鏡

こんなときに余因子展開が役に立ちます

2列目で余因子展開してしまいましょう。すると、、、

となり、なんと四次行列式を三次行列式を計算することで求めることが出来てしまいました(^^♪

こんな調子で五次行列式も六次行列式も求めることが出来るのです。

これかなり便利ですよね?

最後に

今回は少し短めですが、キリがいいのでここで終わります。

今回の余因子展開は行列式の計算において頻繁に出てくるので、何度も計算練習をして、速く計算できるようにしておくのがいいでしょう!

ブラック
ブラック

最後まで見てくれてありがとうよ!

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