行列式の求め方をわかりやすく解説!

こんにちは、くるです。今回は「行列式の求め方」について簡単に解説します。

行列式の求め方

行列式の求め方はかなり特殊

まず、もう既に知っていると思いますが、行列式の求め方はかなり特殊です。

恐らく皆さんの教科書には、次のような「行列式の定義」が書かれていることでしょう。

行列式の定義

$$det(A) = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma)a_{1}\sigma_{(1)}a_{2}\sigma_{(2)} \cdots a_{n}\sigma_{(n)}$$

ただ、はっきり言っておくと、

行列式の定義は理解しなくてOK

です。だから、こんな記号だらけの式は無視してとりあえず計算方法を覚えましょう。

もし、行列式の定義を理解したいなら、まず「行列式とは?分かりやすく解説します!」の記事を読んだ後に、「行列式の定義」の記事を読むことをおすすめしますが、とにかく難しいので頑張ってください。

行列式の求め方について具体的に説明していきます!

先生
先生

2次の行列式の求め方

2次の行列式は以下のように定義されています。

2次の行列式の計算方法

2次の行列式は、次のようにクロスするようなイメージで計算します。

二次行列式の計算方法

例えば、$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$は次のように求めます。

二次行列式の計算方法の説明
気を付けるべきポイント

例えば、$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$という行列式を求めるとき、$-2$のせいで、次のように「-」を付けるのを忘れてしまいがちです。気を付けましょう。

$$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 -2 \times 3=-2$$

正しくは

$$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 + 2 \times 3 = 10$$

です。

3次の行列式の求め方

3次の行列式の求め方は2次の行列式よりもかなり厄介です。3次の行列式は以下のように定義されています。

3次の行列式の計算方法
くるる
くるる

こ、こんなの覚えられないっすよ~~(泣)

簡単に覚えられる方法があるので安心してください!

先生
先生

その名も「サラスの方法」です。

サラスの方法

例えば、次のような行列式をサラスの方法を使って求めてみます。

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$$

サラスの方法はまず以下のように+成分と-成分を計算をします。それぞれをセットで覚えてくださいね。

そして、+成分と-成分を足し合わせます。すると、

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 18-18 = 0$$

となり、この行列式は$0$ということが分かります。

これがサラスの方法です。

この章の最初に言った通り、こんな求め方をするのにはちゃんと理由があります。でも最初からそれを理解するのは難しいので、今はとりあえず覚えるしかないのです…

気を付けるべきポイント

3次の行列式も「-」を付けるのを忘れやすいです。

例えば、以下のように「-」がいっぱい付いている行列式は焦って計算すると高確率で間違えます。僕も何度間違えたか分かりません。慎重に計算しましょう。

\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & -3 \end{vmatrix}

4次以降の行列式の求め方

4次以降の行列式は、2次や3次の行列式のような公式的なものはありません。あったとしても項数が24個になるので、中々覚えるのも大変です。

ではどうやって解くかというと、「余因子展開」という手法を使うのです。

簡単に言うと、「四次行列式を三次行列の和に変換し、その三次行列式をサラスの方法で解く」といった感じです。

この余因子展開を使えば、五次行列式でも六次行列式でも求めることが出来ます。(めちゃくちゃ大変ですけどね)

余因子展開について詳しく知りたい方はこちらの「余因子展開のやり方を分かりやすく解説!」の記事をご覧ください。

まとめ

今回は「行列式の求め方」について解説しました。行列式の求め方は覚えていて当たり前なので、絶対に習得するようにしましょう。

行列式の定義

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