「一次独立」「一次従属」とは?分かりやすく解説します!

一次独立・一次従属

こんにちは、くるです。今回は

一次独立って高校で聞いた気がするんだけど、いまいち良く分からないんだよなぁ…

という学生のために、「一次独立・一次従属」を分かりやすく説明します!

一次独立・一次従属とは?

2次元平面の場合、一次独立は「ベクトルが平行でない」、一次従属は「ベクトルが平行である」状態を表します。

例えば、あるベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$における「一次独立・一次従属」は次のようなイメージです。

2次元の一次独立・一次従属のイメージ

また、3次元空間の場合、一次独立は「全てのベクトルが同じ平面上にない」、一次従属は「全てのベクトルが同じ平面上にある」状態を表します。

例えば、あるベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$における「一次独立・一次従属」は次のようなイメージです。

3次元の一次独立・一次従属のイメージ
くるる
くるる

どうして2次元の場合と3次元の場合で、一次独立と一次従属の意味が違うんすか?何だかわけが分からなくなりそうっす…

それはあくまでも幾何学的な意味で「一次独立・一次従属」を考えているからであり、本質的には2次元でも3次元でも「一次独立・一次従属」の意味は同じなのです。

先生
先生

それを理解するために一次独立・一次従属の「一般の定義」を説明します!

一般の定義

一次独立・一次従属の定義

ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$と実数$c_{1},c_{2}, \cdots ,c_{n}$に対して、

$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+ \cdots + c_{n}\boldsymbol{a_{n}}=\boldsymbol{0} \quad (1) $$

という式を考え、この式を満たすのが「$c_{1}=c_{2}= \cdots = c_{n} = 0$」という自明な解だけに限らないのであれば、$c_{1}=c_{2}= \cdots = c_{n} \neq 0$のときに、

$$\boldsymbol{a_{1}}=-\frac{c_{2}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{2}}- \cdots -\frac{c_{n}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{n}} \quad (2) $$

という式に変形できる。このとき、ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は「一次従属」であるという。

逆に、$(1)$式を満たすのが「$c_{1}=c_{2}= \cdots = c_{n} = 0$」だけに限るとき、$(2)$式のような変形はできない。このとき、ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は「一次独立」であるという。

ちなみに、以下のようにベクトルを連結させただけの式を「一次結合」といいます。$(2)$式の右辺はまさにこれ。

$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+ \cdots + c_{n}\boldsymbol{a_{n}}$$

つまり、定義を要約すると、

定義の要約

あるベクトルが他のベクトルの一次結合で表せるなら「一次従属」、表せないなら「一次独立」

ということです。

他のベクトルに支配されている」から一次”従属”って名前なんですよ。

2次元、3次元で考えてみる

例えば、ベクトルが2つのとき、

$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}=\boldsymbol{0} \quad (3)$$

という式が$c_{1}=c_{2}=0$のときだけ成り立つのであれば、「一次独立」です。

逆に、$(3)$が$c_{1}=c_{2}=0$のとき以外にも成り立つ、つまり「一次従属」だとすれば、$c_{1} \neq 0$のとき、$\boldsymbol{a_{1}}$を$\boldsymbol{a_{2}}$の一次結合で表すことができます。

$$\boldsymbol{a_{1}}=-\frac{c_{2}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{2}}$$

そして、ここ重要なんですが、この式は幾何学的には次のようにイメージすることができます。

2次元の幾何学的なイメージ

つまり、「2つのベクトルが平行」ってことです。

最初に、2次元平面では一次独立は「ベクトルが平行でない」、一次従属は「ベクトルが平行である」状態を表すと説明したのはこれが理由です。

くるる
くるる

そういうことだったんすね!

また、ベクトルが3つのとき、

$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+c_{3}\boldsymbol{a_{3}}=\boldsymbol{0}$$

が$c_{1},c_{2}=0,c_{3}$のときだけ成り立つのであれば「一次独立」、そうでなければ「一次従属」ですが、「一次従属」の場合、$c_{1} \neq 0, c_{2} \neq 0$のときに、$\boldsymbol{a_{1}}$を$\boldsymbol{a_{2}},\boldsymbol{a_{3}}$の一次結合で表すことができます。

$$\boldsymbol{a_{1}}=-\frac{c_{2}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{2}}-\frac{c_{3}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{3}}$$

そして、この式は幾何学的には次のようにイメージすることができます。

3次元の幾何学的なイメージ

つまり、「全てのベクトルが同じ平面上にある」ってことです。

最初に、3次元平面では一次独立は「全てのベクトルが同じ平面上にない」、一次従属は「全てのベクトルが同じ平面上にある」状態を表すと説明したのはこれが理由です。

まとめ

今回は「一次独立・一次従属」について解説しました。

一次独立・一次従属は「基底と次元」などで頻繁に出てくる概念なので、ザックリとしたイメージだけでも持っておくようにしましょう。

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