こんにちは、くるです。今回は
一次独立って高校で聞いた気がするんだけど、いまいち良く分からないんだよなぁ…
という学生のために、「一次独立・一次従属の定義と判定方法」を分かりやすく説明します！
一次独立・一次従属とは？
2次元平面の場合、一次独立は「２つのベクトルが平行でない」、一次従属は「２つのベクトルが平行である」状態を表します。
例えば、あるベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$における「一次独立・一次従属」は次のようなイメージです。
また、3次元空間の場合、一次独立は「３つのベクトルが同じ平面上にない」、一次従属は「３つのベクトルが同じ平面上にある」状態を表します。
例えば、あるベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$における「一次独立・一次従属」は次のようなイメージです。
どうして2次元の場合と3次元の場合で、一次独立と一次従属の意味が違うんすか？何だかわけが分からなくなりそうっす…
それはあくまでも幾何学的な意味で「一次独立・一次従属」を考えているからであり、本質的には2次元でも3次元でも「一次独立・一次従属」の意味は同じなのです。
それを理解するために一次独立・一次従属の「一般の定義」を説明します！
一般の定義
ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$と実数$c_{1},c_{2}, \cdots ,c_{n}$において、
$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+ \cdots + c_{n}\boldsymbol{a_{n}}=\boldsymbol{0} \quad (1) $$
という式を満たすのが自明な解「$c_{1}=c_{2}= \cdots = c_{n} = 0$」に限るとき、「ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は一次独立である」という。
自明な解以外の解があるならば、 「ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は一次従属である」という。
ちなみに、以下のようにベクトルを連結させただけの式を「ベクトルの一次結合」といいます。$(1)$式の左辺はまさにこれ。
$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+ \cdots + c_{n}\boldsymbol{a_{n}}$$
でも、何でこんな定義なんですか？一次独立・一次従属とあまり関係がなさそうに見えるのですが。
定義の意味を詳しく解説しましょう！
定義の意味
例えば、ベクトルが2つのときを考えましょう。
$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}=\boldsymbol{0} \quad (2)$$
という式が$c_{1}=c_{2}=0$のとき以外にも成り立つとすると、
$$\boldsymbol{a_{1}}=-\frac{c_{2}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{2}} \quad(3)$$
という式に変形できます。
そして、ここが一番重要なんですが、この式は幾何学的には次のようなものだとイメージすることができますよね。
つまり、$(2)$式が$c_{1}=c_{2}=0$のとき以外にも成り立つならば、「2つのベクトルは平行」なんです。
そして、「2つのベクトルが平行」って2次元平面における「一次従属」のことでしたよね。
逆に、$(2)$式が$c_{1}=c_{2}=0$のときにしか成り立たないのであれば、$(3)$式のように変形しようと思っても分母が$0$になってしまうので出来ません。
ということは、間違いなく「 2つのベクトルは平行ではない」ですよね。つまり「一次独立」です。
なるほどっす！
また、ベクトルが3つのときも考えてみましょう。
$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+c_{3}\boldsymbol{a_{3}}=\boldsymbol{0} \quad(4)$$
という式が$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$のとき以外にも成り立つとすると、
$$\boldsymbol{a_{1}}=-\frac{c_{2}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{2}}-\frac{c_{3}}{c_{1}}\boldsymbol{a_{3}} \quad(5)$$
という式に変形できます。
この式は幾何学的には次のようなものだとイメージすることができますよね。
つまり、$(4)$式が$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$のとき以外にも成り立つならば、「3つのベクトルは同じ平面上にある」ということになります。
そして、「3つのベクトルは同じ平面上にある」って３次元平面における「一次従属」のことでしたよね。
逆に、$(4)$式が$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$のときにしか成り立たないのであれば、$(5)$式のように変形しようと思っても分母が$0$になってしまうので出来ません。
ということは、間違いなく「3つのベクトルは同じ平面上にない」ですよね。つまり「一次独立」です。
一次”従属”という名前なのは「他のベクトルによって表される＝支配されている」から
一次独立か一次従属かを判定する方法
ベクトルが一次独立か一次従属かの判定には先ほど説明した「一次独立・一次従属の定義」を利用します。
ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$と実数$c_{1},c_{2}, \cdots ,c_{n}$において、
$$c_{1}\boldsymbol{a_{1}}+c_{2}\boldsymbol{a_{2}}+ \cdots + c_{n}\boldsymbol{a_{n}}=\boldsymbol{0} \quad (1) $$
という式を満たすのが自明な解「$c_{1}=c_{2}= \cdots = c_{n} = 0$」に限るとき、「ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は一次独立である」という。
自明な解以外の解があるならば、 「ベクトル$\boldsymbol{a_{1}},\boldsymbol{a_{2}}, \cdots ,\boldsymbol{a_{n}}$は一次従属である」という。
例題を通して判定方法を説明します。
例題１
次のベクトルは一次独立・一次従属のどちらか述べよ。
$$\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$
まず、ベクトルを一次結合して、以下のような式を作る。
$$c_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}=\boldsymbol{0}$$
この式の解が$c_{1}=c_{2}=0$だけに限れば「一次独立」、限らなければ「一次従属」である。
$c_{1},c_{2}$は以下の連立方程式を解けば求められる。
$$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad(1) $$
$$\begin{eqnarray}\begin{bmatrix} \begin{array}{cc:c} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{array} \end{bmatrix} \end{eqnarray} \rightarrow
\begin{bmatrix} \begin{array}{cc:c} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} \begin{array}{cc:c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{array} \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} \begin{array}{cc:c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \end{bmatrix} $$
よって、解は$c_{1}=c_{2}=0$だけに限るので、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2}$は一次独立である。
簡約化している式を見てもらうと分かりますが、点線より右側の部分って全く変化しないので、なくても良いですよね。
なので、何をやっているのかをちゃんと理解しているのであれば、
$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$
というように係数行列だけの簡約化でもOKです。
例題２
次からは省略できる部分は省略して解答を書いてみます。
次のベクトルは一次独立・一次従属のどちらか述べよ。
$$\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$$
まず、ベクトルを一次結合して、以下のような式を作る。
$$c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}=\boldsymbol{0}$$
これを変形すると、
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad(1) $$
となる。係数行列を簡約化すると、
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
となるので、$c_{2}=C \ (C \in \boldsymbol{R})$とすると、$c_{1}=-2C,c_{2}=C$となり、解は無限に存在する。
よって、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2}$は一次従属である。
例題３
次のベクトルは一次独立・一次従属のどちらか述べよ。
$$\boldsymbol{a_{1}}=\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \boldsymbol{a_{2}}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{a_{3}}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$$
まず、ベクトルを一次結合して、以下のような式を作る。
$$c_{1}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \boldsymbol{0}$$
これを変形すると、
$$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
となる。係数行列を簡約化すると、
$$ \begin{eqnarray} && \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end{bmatrix} \\
&& \\
&\rightarrow& \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & -5 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 1& -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{7}{3} \end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$
よって、解は$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$だけに限るので、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2}, \boldsymbol{a_3}$は一次独立である。
まとめ
今回は「一次独立・一次従属の定義と判定方法」について解説しました。
一次独立・一次従属は「基底と次元」などで頻繁に出てくる概念なので、ザックリとしたイメージだけでも持っておくようにしましょう。
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