こんにちは、krです。今回は「行列式の性質」について具体例を用いて簡単に説明します。
簡潔にするため、各性質の証明はしていないのでご注意ください。
行列式について知りたい方は「行列式とは何か？簡単に説明します！」をご覧ください。
ある行を$c$倍すると行列式も$c$倍になる
$$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -4$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -36$$
ある行が2つの行列の和になっている行列式は、それぞれの行列の行列式の和と等しい
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}= -18$$
行を入れ替えると$-1$倍になる
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -18$$
2つの行が同じ行列式は$0$
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$
ある行に他の行の$c$倍を加えても行列式の値は変わらない
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -18$$
ある行列$A$とその転置行列${}^t \! A$の行列式は等しい
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = -18$$
この性質により、今までに説明してきた5つの性質は「行」だけでなく、「列」に対しても成り立ちます。
つまり、最初の「ある行を$c$倍すると行列式も$c$倍になる」は「ある列を$c$倍すると行列式も$c$倍になる」とも言うことができ、実際、
$$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -4$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -36$$
となり、正しいことが分かります。
まとめ
今回は行列式の性質について具体例を用いて簡単に説明しました。
行列式の性質は使うことは少ないですが、行列式を求めるときに計算が楽になったりするので、覚えておいて損はないです。
・ある行を$c$倍すると行列式も$c$倍になる
・ある行が2つの行列の和になっている行列式は、それぞれの行列の行列式の和と等しい
・行を入れ替えると$-1$倍になる
・2つの行が同じ行列式は$0$
・ある行に他の行の$c$倍を加えても行列式の値は変わらない
・ある行列$A$とその転置行列${}^t \! A$の行列式は等しい
