逆行列の求め方【行列式編】

逆行列(行列式編)

逆行列とは?

ある$n$次正方行列$A,B$と$n$次単位行列$E$が

$$AB = BA = E$$

という式を満たす時、行列$B$を行列$A$の逆行列と呼びます。

例えば、$2$次正方行列$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$の逆行列$B$は

より、$B=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$です。

なぜ逆行列というのか

例えば、$2×\frac{1}{2} = 1$において、「掛け合わせたら$1$になる」ことから$\frac{1}{2}$のことを$2$の「逆数」といいますよね。

それと同じような考えで、行列$A×$行列$B = $単位行列$E$のように「掛け合わせたら単位行列」になるものを「逆行列」と呼ぶと決めたのです。

逆行列の求め方を説明します!

先生
先生

逆行列の求め方

この記事では「行列式」による逆行列の求め方を説明します。以下が逆行列を求める公式です。

逆行列を求める公式

行列$A$が正則行列ならば、$A$の逆行列を$A^{-1}$、$A$の行列式を$det(A)$、$A$の余因子行列を$\tilde{A}$とすると、 以下の式が成り立つ。

$$A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{det(A)}$$

最初に例として出した次の行列の逆行列を求めてみましょう。

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$$

行列式は$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-1$

また、余因子行列は、$i$行$j$列の余因子を$\tilde{a_{ij}}$とすると、

より、余因子行列は$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

よって、逆行列は

$$ \begin{eqnarray} A^{-1} &=& \frac{\tilde{A}}{det(A)} \\
&=& \frac{\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}{-1} \\
&=& \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

これは最初に説明したように、次の式が成り立っているので、逆行列であると確認できます。

まとめ

今回は「行列式」による逆行列の求め方を説明しました。以下の記事で「掃き出し法」による逆行列を求め方を説明しているので、是非合わせてご覧ください。

分かりやすい逆行列

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