線形写像とは何か?丁寧に解説します!

線形写像

こんにちは、くるです。今回は

線形写像ってのを習ったけど、全然分からん…

と悲しむ学生に向けて「線形写像」を分かりやすく丁寧に解説します。

前提知識を解説

写像って何?

写像とは「ある集合の要素と別の集合の要素を対応付ける規則」のことで、簡単に言えば$f(x)=ax$のような「関数」を一般化したものです。

どういうことかというと、関数では$x$を全て「実数」で考えていましたが、写像は「何でもあり」なんです。

例えば、関数$f(x)=2x$を考えてみましょう。定義域$x$は実数に限るため、$x$と$f(x)$の対応関係は次のようにイメージすることができます。

写像的イメージ1

これに対して、写像は何でもありです。

例えば、$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$は写像です。$x$に数字じゃなくて、数ベクトルが入っています。

この写像は次のようにイメージすることができます。

写像的イメージ2

とりあえずは「写像=関数みたいなもの」と理解すれば良いでしょう。

先生
先生

次元と写像

ここでの次元は簡単に言えば「数ベクトルの要素数」です。

例えば、$1=(1)$は1次元、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$は2次元、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$は3次元です。

また、次元は$\mathbb{R}$という記号で表され、

次元の表記法の説明

と書きます。

ここで、写像$f(x)=2x$を考えてみましょう。この写像は1次元の数字を入力し、1次元の数字を出力します。

この写像$f$は次のような式で表されます。これは「$f$は$\mathbb{R}$(1次元)から$\mathbb{R}$(1次元)への写像」という意味です。

$$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

同じように、$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$であれば、

$$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$

と書きます。

このように、写像の記法については一般的に次のようなことが決められています。

写像の記法

$f$が$\mathbb{R}^n$から$\mathbb{R}^m$への写像のとき、$f$は以下のように表される。

$$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$

線形写像の説明に入ります!

先生
先生

線形写像とは?

線形写像とは簡単に言えば「原点を通る直線と同じような性質を持つ写像」です。

まずは、線形写像という言葉がどこから生まれたのかを説明しましょう。

線形写像の由来

例えば、$f(x)=ax$という$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$の写像$f$を考えましょう。

この写像$f$は幾何的には次のような「原点を通る直線」を意味しています。

原点を通る直線の図

さて、このような原点を通る直線では次のような式が成り立つことが分かります。

$$f(x_{1}+x_{2})=a(x_{1}+x_{2})=ax_{1}+ax_{2}=f(x_{1})+f(x_{2}) \quad (1) $$

$$f(cx_{1})=a(cx_{1})=c(ax_{1})=cf(x_{1}) \quad (2) $$

この2式は次のような意味を持っています。

原点を通る直線はこのような性質を持っているわけです。

一見、どんな関数$f(x)$でも持ってそうな性質に見えますが、実はこれが成り立つのは$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$の写像では「原点を通る直線」だけなんです。

例えば、以下のような原点を通らない直線$f(x)=2x+1$を考えてみましょう。

この直線では、

$$\begin{eqnarray} f(x_{1}+x_{2}) &=& 2(x_{1}+x_{2})+1 \\
&=& 2x_{1}+2x_{2}+1 \\
&\neq& (2x_{1}+1)+(2x_{2}+1) \\
&=& f(x_{1})+f(x_{2}) \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}f(cx_{1}) &=& 2(cx_{1})+1 \\
&\neq& c(2x_{1}+1) \\
&=& cf(x_{1}) \end{eqnarray}$$

となるので、原点を通る直線が持つ性質を満たさないことが分かります。他のどんな$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$の写像でも同じです。

したがって、性質(1),(2)は$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$の写像では原点を通る直線だけが持つ性質なので、直線を意味する”線形”という言葉を使い、「線形性」と名付けます。

そして、原点を通る直線は「線形性を持つ写像」であるため「線形写像」と呼ばれます。

つまり、以下のようにまとめられます。

線形写像

以下の2つの性質(線形性)を持つ写像$f$を線形写像と呼ぶ。

$$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$$

$$f(cx_{1})=cf(x_{1})$$

だから、「線形写像」という言葉は元々「原点を通る直線」から生まれた言葉なんです。(実は本当にそうなのかは分からないのですが、こう考える方が理解しやすいと思います)

ポンタ
ポンタ

なるほど、なるほど。

そして、気になるのは「原点を通る直線以外に線形写像が存在するか?」ということです。

存在するならば、その写像は「原点を通る直線と同じような性質を持つ写像」であると言えますね。

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$の写像では原点を通る直線だけが線形写像でしたが、次元を上げてみるとどうでしょうか?

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$の線形写像

以下のような$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$の写像$f$を考えます。

$$f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$

この写像$f$が線形性を持つかどうか調べてみましょう。

線形性を持つかどうか調べる

(スマホの場合横にスクロールで隠れている部分が表示されます)

$$\begin{eqnarray} f \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11}(x_{1}+x_{1}’)+a_{12}(x_{2}+x_{2}’) \\ a_{21}(x_{1}+x_{1}’)+a_{22}(x_{2}+x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2})+(a_{11}x_{1}’+a_{12}x_{2}’) \\ (a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2})+(a_{21}x_{1}’+a_{22}x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&& \\
f \begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} &=&
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} ca_{11}x_{1}+ca_{12}x_{2} \\ ca_{21}x_{1}+ca_{22}x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c\begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& cf \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

ここで、$\boldsymbol{x_{1}}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, \boldsymbol{x_{2}}=\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix}$とおくと、

$$f(\boldsymbol{x_{1}}+\boldsymbol{x_{2}})=f(\boldsymbol{x_{1}})+f(\boldsymbol{x_{2}})$$

$$f(c\boldsymbol{x_{1}})=cf(\boldsymbol{x_{1}})$$

となるので、写像$f$は線形性を持つ。

よって、写像$f$は線形写像です。

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$では原点を通る直線しか持たない性質だったので「線形性」と名付けたわけですが、次元を上げてみると原点を通る直線以外にも線形性を持つものが見つかりました。

ここで$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$と表すことにしてみると、写像$f$は次のように書き表せます。

$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$$

これ見た目は原点を通る直線$f(x)=ax$とそっくりですよね。$x$が実2次数ベクトルになってはいますが。

ということは「$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と表せる写像は線形性を持つ=線形写像である」と言えるんじゃないでしょうか。

一般の$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$の場合でこれが本当か確かめてみましょう。

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$の写像における「線形性」がどういう意味を持つのか良く分からないと思いますが、とりあえずは「原点を通る直線と同じ性質」とだけ理解しておきましょう。

$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$の線形写像

例えば、以下の$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$の写像を考えましょう。

$$f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$

この写像は、

$$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$

とすると、$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と表せるので、この写像が線形写像であれば、「$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と表される$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$の写像は全て線形写像である」と言えそうです。

では実際に線形写像かどうか調べてみましょう。

線形写像かどうかを調べる

(スマホの場合横にスクロールで隠れている部分が表示されます)

$$\begin{eqnarray} f \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11}(x_{1}+x_{1}’)+a_{12}(x_{2}+x_{2}’) \\ a_{21}(x_{1}+x_{1}’)+a_{22}(x_{2}+x_{2}’) \\ a_{31}(x_{1}+x_{1}’)+a_{32}(x_{2}+x_{2}’)\end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2})+(a_{11}x_{1}’+a_{12}x_{2}’) \\ (a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2})+(a_{21}x_{1}’+a_{22}x_{2}’) \\ (a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})+(a_{31}x_{1}’+a_{32}x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

さらに、

$$\begin{eqnarray} f \begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} &=&
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} ca_{11}x_{1}+ca_{12}x_{2} \\ ca_{21}x_{1}+ca_{22}x_{2} \\ ca_{31}x_{1}+ca_{32}x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c\begin{pmatrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2} \\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& cf \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

したがって、$\boldsymbol{x_{1}}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, \boldsymbol{x_{2}}=\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix}$とすると、

$$f(\boldsymbol{x_{1}}+\boldsymbol{x_{2}})=f(\boldsymbol{x_{1}})+f(\boldsymbol{x_{2}})$$

$$f(c\boldsymbol{x_{1}})=cf(\boldsymbol{x_{1}})$$

となり、この写像$f$は線形性を持つ写像なので、線形写像です。

ということで、「線形写像」と「線形写像の判別法」をまとめると次のようなことが言えます。

一般の線形写像

以下の2つの性質(線形性)を持つ写像$f$を線形写像と呼ぶ。ただし、$\boldsymbol{x_{1}}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}, \boldsymbol{x_{2}}=\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ \vdots \\ x_{n}’ \end{pmatrix}$である。

$$f(\boldsymbol{x_{1}}+\boldsymbol{x_{2}})=f(\boldsymbol{x_{1}})+f(\boldsymbol{x_{2}})$$

$$f(c\boldsymbol{x_{1}})=cf(\boldsymbol{x_{1}})$$

線形写像の判別法

$R^n \rightarrow R^m$の写像$f$に対して次のような式が成り立つとき、$f$は線形写像である。ただし、$A$は$m$行$n$列の行列とする。

$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$$

線形写像ではない例

$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と書ける写像が線形写像であるのなら、このように書けない写像は線形写像ではないはずですね。

例えば、以下のような写像は定数があるせいで$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と書くことはできません。

$$f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

では、この写像が本当に線形写像ではないのか調べてみましょう。

線形写像かどうかを調べる

(スマホの場合横にスクロールで隠れている部分が表示されます)

$$\begin{eqnarray} f \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11}(x_{1}+x_{1}’)+a_{12}(x_{2}+x_{2}’) \\ a_{21}(x_{1}+x_{1}’)+a_{22}(x_{2}+x_{2}’) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2})+(a_{11}x_{1}’+a_{12}x_{2}’) \\ (a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2})+(a_{21}x_{1}’+a_{22}x_{2}’) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\
&& \\
&\neq& f \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f \begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

となり、写像$f$は線形性を持たないので、線形写像ではない。

まぁこんな感じで、$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$と書けない写像は線形写像ではないのです。

まとめ

今回は「線形写像」について解説しました。

線形写像は線形代数の中でもかなりメインの話なので、難しいですがしっかりと理解しておきましょう。

例題を以下の記事で解説しているので、もしよかったらご覧ください。

線形写像例題集

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