こんにちは、くるです。今回は
表現行列って何なんだよ～(泣)
と涙が止まらない方のために「表現行列」を分かりやすく解説します。
また、表現行列をちゃんと理解するには「線形写像」の理解が必要不可欠です。線形写像についてあまり理解できていない方は先に「線形写像とは何か？丁寧に解説します！」をご覧ください。
表現行列って何？
表現行列とは簡単に言えば「どんな線形写像であるかを表現する行列」です。
例えば、次のような$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$の線形写像$f$を考えましょう。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$
この線形写像$f$において、$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$とすると、
$$f\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
となります。これはつまり、線形写像$f$によって、$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$が$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$に写されたということを表しています。
幾何的には、次のようなイメージです。
そして、線形写像$f$の$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$という行列は「線形写像$f$によってベクトル$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$がどんなベクトル$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$に写るか」ということを表しています。
つまり、行列$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$は「線形写像$f$がどんな線形写像であるかを表現する行列」と言うことができ、この行列のことを「表現行列」と呼びます。
とにかく、$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$という線形写像の行列$A$のことを「表現行列」と呼ぶってことっすよね？
その通りです！
後述しますが、$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$という線形写像の行列$A$のことを「表現行列」と呼べるのは、写像前の基底と写像後の基底が標準基底であるときだけです。
標準基底でないときの表現行列
先ほどの$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$の線形写像では、写像前の基底も写像後の基底も標準基底$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $に設定してあります。(基底とは？)
つまり、幾何的には次のように、$(0,1),(1,0)$によって$x,y$平面の全てのベクトルが構成されているということです。
この基底のときは、先ほどの線形写像$f$に$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$を入力したら、以下のように$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$が出力されます。
では、ここで、写像前の基底を$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $に、写像後の基底を$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $に変換してみましょう。
この変換により、$x,y$平面は次のようになります。
さて、この基底のとき、先ほどの線形写像$f$における入力ベクトル$(-1,1)$と出力ベクトル$(1,1)$はそれぞれ、
$$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
という式で表されます。
この式は、標準基底では$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$だったものが、新しい基底にすると$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$に変わるということを表しています。
つまり、図にすると次のような意味です。
ここで、線形写像$f$をもう一度思い出しましょう。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$
この式に$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$を入力しても、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$は出力されません。
つまり、新しい基底のとき(もっと言うと標準基底ではないとき)、$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$は表現行列ではないんです。
なので、$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$を入力したら、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$が出力される、そんな行列を求めなければならず、その行列が新しい基底における「表現行列」です。
基底を変換した後の表現行列の求め方を説明します！
基底を変えたときの表現行列の求め方
まず、今までのことを整理しましょう。
初めに、
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$
に$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$を入力したら、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$が出力されました。
これは図に表すと次のイメージです。
次に、基底の変換を行い、
$$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
という式から、$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$が$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$に変換されました。
これは図に表すと次のようにイメージできます。
そして、今問題になっているのは次の式を満たす行列$B$を求めることです。
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
これは図では次のように表されます。
でもどうやって$B$を求めるんすか？全然見当も付かないっすよ…
実はこの図から簡単に求めることが出来るんです！
どういうことかというと、緑の矢印向きの演算が分からないなら、赤の矢印の逆⇒青の矢印⇒赤の矢印の順に演算をしていけば良いってことです。
なので、以下の式をどんどん変形していくことになります。
まず、$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$において、
$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\
&& \\
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
という式が成り立つので、
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
次に、$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$において、線形写像$f$により
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
&& \\
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
という式が成り立つので、
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
そして最後に、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$において、
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
という式が成り立つので、最終的に次のような式になります。
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
この式から、
$$\begin{eqnarray} B &=& \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
となり、求めていた表現行列は$\begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$であることが分かりました。
実際、
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
となるので、正しいと分かります。
一般化
今までは具体的な例を用いて計算を説明してきましたが、一般的には以下の図のようになります。
まず以下の式から始めます。
$$\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$
$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$において、
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}&=&P\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\
&& \\
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&=&P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\
\end{eqnarray}$$
という式が成り立つから、
$$\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}=BP^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
次に、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$において、
$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}&=&A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\
&& \\
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=A^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \\
\end{eqnarray}$$
という式が成り立つから、
$$\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}=BP^{-1}A^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$$
最後に、$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$において、
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}$$
という式が成り立つので、最終的に次のような式になります。
$$\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}=BP^{-1}A^{-1}Q\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}$$
そして、$\begin{pmatrix} a’ \\ b’ \end{pmatrix}$を消して、
$$1=BP^{-1}A^{-1}Q$$
という式になり、
$$\begin{eqnarray} 1&=&BP^{-1}A^{-1}Q \\
&& \\
Q^{-1}&=&BP^{-1}A^{-1} \\
&& \\
Q^{-1}A&=&BP^{-1} \\
&& \\
Q^{-1}AP&=&B \end{eqnarray}$$
となるので、
という図において、表現行列$B$は
$$B=Q^{-1}AP$$
という式で求められると分かりました。
まとめ
今回は表現行列について長々と説明しました。
最初は中々理解のできない概念ですが、繰り返し復習することで徐々に理解できるようになるので、頑張りましょう！
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$