こんにちは、krです。今回は線形写像の例題を5問紹介します。
この記事では「線形写像」については解説しないので、詳しく知りたい方は「線形写像とは何か？丁寧に解説します！」をご覧ください。
線形写像かどうか調べる方法
ある写像$f$が線形写像であるかどうかは、写像$f$が以下の「線形性」を持つかどうかで判定できます。
早速、例題を解いていきましょう！
例題
次の写像$f$は線形写像かどうか調べなさい。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \end{pmatrix}$$
写像$f$が線形性を持つかどうかを調べる。
$$ \begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3(x_{1}+x_{1}’)+(x_{2}+x_{2}’) \\ (x_{1}+x_{1}’)-2(x_{2}+x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (3x_{1}+x_{2})+(3x_{1}’+x_{2}’) \\ (x_{1}-2x_{2})+(x_{1}’-2x_{2}’) \end{pmatrix}\\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3x_{1}’+x_{2}’ \\ x_{1}’-2x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&& \\
f\begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3(cx_{1})+(cx_{2}) \\ (cx_{1})-2(cx_{2}) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c\begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray} $$
よって、写像$f$は線形性を持つので、線形写像である。
次の写像$f$は線形写像かどうか調べなさい。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \\ -2x_{1}+3x_{2}\end{pmatrix}$$
写像$f$が線形性を持つかどうかを調べる。
$$ \begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3(x_{1}+x_{1}’)+(x_{2}+x_{2}’) \\ (x_{1}+x_{1}’)-2(x_{2}+x_{2}’) \\ -2(x_{1}+x_{1}’)+3(x_{2}+x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (3x_{1}+x_{2})+(3x_{1}’+x_{2}’) \\ (x_{1}-2x_{2})+(x_{1}’-2x_{2}’) \\ (-2x_{1}+3x_{2})+(-2x_{1}’+3x_{2}’) \end{pmatrix}\\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \\ -2x_{1}+3x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3x_{1}’+x_{2}’ \\ x_{1}’-2x_{2}’ \\ -2x_{1}’+3x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&& \\
f\begin{pmatrix} cx_{1} \\ cx_{2} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3(cx_{1})+(cx_{2}) \\ (cx_{1})-2(cx_{2}) \\ -2(cx_{1})+3(cx_{2}) \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c\begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \\ -2x_{1}+3x_{2} \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& c f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray} $$
よって、写像$f$は線形性を持つので、線形写像である。
次の写像$f$は線形写像かどうか調べなさい。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2}+1 \\ x_{1}-2x_{2}+3 \end{pmatrix}$$
写像$f$が線形性を持つかどうかを調べる。
$$ \begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3(x_{1}+x_{1}’)+(x_{2}+x_{2}’)+1 \\ (x_{1}+x_{1}’)-2(x_{2}+x_{2}’)+3 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} (3x_{1}+x_{2})+(3x_{1}’+x_{2}’)+1 \\ (x_{1}-2x_{2})+(x_{1}’-2x_{2}’)+3 \end{pmatrix}\\
&& \\
&\neq& \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3x_{1}’+x_{2}’ \\ x_{1}’-2x_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \end{eqnarray} $$
よって、写像$f$は線形性を持たないので、線形写像ではない。
次の写像$f$は線形写像かどうか調べなさい。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^2 \\ x_{2}^2 \end{pmatrix}$$
写像$f$が線形性を持つかどうかを調べる。
$$ \begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} (x_{1}+x_{1}’)^2 \\ (x_{2}+x_{2}’)^2 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} {x_{1}}^2+2x_{1}x_{1}’+{x_{1}’}^2 \\ {x_{2}}^2+2x_{2}x_{2}’+{x_{2}’}^2 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} {x_{1}}^2 \\ {x_{2}}^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2x_{1}x_{1}’ \\ 2x_{2}x_{2}’ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {x_{1}’}^2 \\ {x_{2}’}^2 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2x_{1}x_{1}’ \\ 2x_{2}x_{2}’ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
よって、写像$f$は線形性を持たないので、線形写像ではない。
次の写像$f$は線形写像かどうか調べなさい。
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sinx_{1} \\ cosx_{2} \end{pmatrix}$$
写像$f$が線形性を持つかどうかを調べる。
$$ \begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_{1}+x_{1}’ \\ x_{2}+x_{2}’ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} sin(x_{1}+x_{1}’) \\ cos(x_{2}+x_{2}’) \end{pmatrix} \\
&& \\
& \neq & \begin{pmatrix} sinx_{1}+sinx_{1}’ \\ cosx_{2}+cosx_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \begin{pmatrix} sinx_{1} \\ cosx_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} sinx_{1}’ \\ cosx_{2}’ \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x_{1}’ \\ x_{2}’ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
よって、写像$f$は線形性を持たないので、線形写像ではない。
補足
例題の結果を見ると分かると思いますが、$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$の写像$f$が$m \times n$行列$A$を用いて、
$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$$
という式で表せる場合、写像$f$は線形写像であると言えます。
例えば、例題１の
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-2x_{2} \end{pmatrix}$$
という写像$f$は
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$
という式に変形できます。だから線形写像なんです。
一方、例題３の
$$f\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}+x_{2}+1 \\ x_{1}-2x_{2}+3 \end{pmatrix}$$
という写像$f$は定数があるせいで$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$という式に変形できません。だから線形写像ではないんです。
$$f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}’)=f(\boldsymbol{x})+f(\boldsymbol{x}’)$$
$$f(c\boldsymbol{x})=cf(\boldsymbol{x})$$