こんにちは、くるです。今回は「表現行列に関する基本的な例題」を3つ集めたのでぜひ参考にしてください。
表現行列のおさらい
例えば、以下の$\boldsymbol{R}^2 \rightarrow \boldsymbol{R}^2$の線形写像$f$において、 $\boldsymbol{R}^2$の基底が標準基底 $ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $であるとしましょう。
$$f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \boldsymbol{x} $$
このとき、 $ \boldsymbol{e}_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $とすると、
$$\begin{eqnarray} f(\boldsymbol{e}_{1})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2} \\
&& \\
&& \\
f(\boldsymbol{e}_{2})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& 2\boldsymbol{e}_{1}+4\boldsymbol{e}_{2} \end{eqnarray}$$
となり、これは次のような行列で表せる。
$$\begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e}_{1}) & f(\boldsymbol{e}_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{1} & \boldsymbol{e}_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
そして、この$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$が$f$の標準基底に関する表現行列です。
例題に移ります！
例題
問１
以下の$\boldsymbol{R}^2 \rightarrow \boldsymbol{R}^2 $の線形写像$f$を考える。
$$f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \boldsymbol{x} $$
$\boldsymbol{R}^2$の基底が次のようなとき、この基底に関する表現行列を求めなさい。
$$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} $$
$ \boldsymbol{a}_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_{2}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$とすると、
$$\begin{eqnarray} f(\boldsymbol{a}_{1})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \boldsymbol{a}_{1}-2\boldsymbol{a}_{2} \\
&& \\
&& \\
f(\boldsymbol{a}_{2})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& -3\boldsymbol{a}_{1}+4\boldsymbol{a}_{2} \end{eqnarray}$$
となり、これは次のような行列で表せる。
$$ \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{a}_{1}) & f(\boldsymbol{a}_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
よって、求める表現行列は$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$である。
問２
以下の$\boldsymbol{R}^2 \rightarrow \boldsymbol{R}^2 $の線形写像$f$を考える。
$$f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \boldsymbol{x} $$
写像前の$\boldsymbol{R}^2$の基底が$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} $であり、写像後の$\boldsymbol{R}^2$の基底が$ \left \{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $であるとき、この基底に関する表現行列を求めなさい。
$ \boldsymbol{a}_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_{2}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}_{1}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}_{2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$とする。
$$\begin{eqnarray} f(\boldsymbol{a}_{1})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& -\frac{1}{2} \boldsymbol{b}_{1}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}_{2} \\
&& \\
&& \\
f(\boldsymbol{a}_{2})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \frac{1}{2} \boldsymbol{b}_{1}+\frac{5}{2}\boldsymbol{b}_{2} \end{eqnarray}$$
となり、これは次のような行列で表せる。
$$ \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{a}_{1}) & f(\boldsymbol{a}_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{b}_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{pmatrix} $$
よって、求める表現行列は$ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{pmatrix} $である。
問３
以下の$\boldsymbol{R}^2 \rightarrow \boldsymbol{R}^3 $の線形写像$f$を考える。
$$f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \boldsymbol{x} $$
$\boldsymbol{R}^2$の基底が$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} $であり、$\boldsymbol{R}^3$の基底が$ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $であるとき、この基底に関する表現行列を求めなさい。
$ \boldsymbol{a}_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{a}_{2}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}_{2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}_{3}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $とする。
$$\begin{eqnarray} f(\boldsymbol{a}_{1})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& -\frac{1}{3} \boldsymbol{b}_{1}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}_{2}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}_{3} \\
&& \\
&& \\
f(\boldsymbol{a}_{2})&=&\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \\
&& \\
&=& \frac{3}{5}\boldsymbol{b}_{1}+\frac{9}{5}\boldsymbol{b}_{2}+\frac{1}{5}\boldsymbol{b}_{2} \end{eqnarray}$$
となり、これは次のような行列で表せる。
$$ \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{a}_{1}) & f(\boldsymbol{a}_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{b}_{2} & \boldsymbol{b}_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{3} & \frac{9}{5} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} $$
よって、求める表現行列は$ \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{3} & \frac{9}{5} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} $である。
$\boldsymbol{R}^n \rightarrow \boldsymbol{R}^m$の線形写像$f$において、$ \boldsymbol{R}^n$ の基底が$ \{ \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \cdots , \boldsymbol{a}_{n} \} $、$\boldsymbol{R}^m$の基底が$ \{ \boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \cdots , \boldsymbol{b}_{m} \} $であるとする。$f$と各基底との間に以下のような関係があるとき、
$$ \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{a}_{1}) & f(\boldsymbol{a}_{2}) & \cdots & f(\boldsymbol{a}_{n}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{b}_{2} & \cdots & \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix}A$$
この$n \times m$行列Aを$f$の $ \{ \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \cdots , \boldsymbol{a}_{n} \} $ 、 $ \{ \boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \cdots , \boldsymbol{b}_{m} \} $ に関する「表現行列」という。