転置行列とは?最低限覚えておくべき4つの性質

転置行列

こんにちは、くるです。今回は「転置行列」について簡単に解説します。

転置行列とは?

転置行列は「行列を対角線でひっくり返した行列」です。

例えば、次のようなものです。これは「1と5の対角線」でひっくり返しています。

他の例も見てみましょう。

これが転置行列です。「ただ対角線でひっくり返すだけ」です。

くるる
くるる

簡単っすね!

ある行列を$A$としたとき、その転置行列を${}^tA$という記号で表します。つまり、次のようになるわけです。

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$

$${}^t A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

転置行列の基本的な4つの性質

ここで説明する4つの性質はどれも重要なものなので、覚えておいた方がいいでしょう。

${}^{tt}A=A$

転置行列を更に転置すると元の行列に戻ります。例えば次のように。

${}^t(A+B)={}^tA+{}^tB$

行列の和の転置はそれぞれの行列の転置行列の和になります。例えば次のように。

一応合ってるか確かめてみましょう。左辺は

となり、右辺は

となるので、合ってることが分かります。

${}^t(kA)=k{}^tA$

ある行列の$k$倍の転置は、転置行列の$k$倍と等しいです。例えば次のように。

こちらも正しいか確認しましょう。左辺は

右辺は

となるので、正しいですね。

${}^t(AB)={}^tB {}^tA$

行列の積$AB$の転置は、$B$の転置と$A$の転置の積と等しいです。これが一番直感では理解しにくい性質だと思います。

積の順番が逆になる」ことに注意しましょう。

これも正しいか確認しましょう。左辺は

右辺は

より、正しいと分かります。

まとめ

今回は「転置行列」について簡単に解説しました。

実際、性質を使う場面は少ないですが、たまに役に立つこともあるので、覚えておいて損はないです。

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