行列の『足し算・引き算』を分かりやすく解説!

こんにちは、くるです。今回は「行列の足し算・引き算」について簡単に解説します。

足し算

行列の足し算は「各成分を足すだけ」です。

行列の足し算

例えば、

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$

となります。

引き算

行列の引き算は「各成分を引くだけ」です。

行列の引き算

例えば、

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

となります。

足し算・引き算はそんなに難しくはないでしょう。

先生
先生

足し算・引き算ができる条件

普通の数字であれば、どんな場合でも足し算・引き算が可能でした。しかし、行列では以下の条件を満たさないと足し算・引き算が出来ないのです。

足し算・引き算ができる条件

行列の型が等しい

「型が等しい」とは「行の数と列の数が等しい」ということです。

例えば、以下のように型の違う行列同士の足し算・引き算はできません。

次のように計算はできないの?と思うかもしれませんが出来ません。そういう決まりなのです。

なぜ型が違うと足し算・引き算できないのか?

決まりって言われたってそんなの納得できないよ!

と思う方もいるかもしれないので、なんとなく解説します。

例えば、次のように「型が違っても足し算・引き算ができる」と仮定しましょう。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 7 & 9 & 6 \end{pmatrix}$$

また、当然次のような式も成り立ちますよね。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 7 & 9 & 6 \end{pmatrix}$$

すると、この2つの式より、

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$といえますね。

でも、これはどう考えてもマズイでしょう。確かにこういうものだと定義することもできると思いますが、ややこしいじゃないですか。

こんなことを許してしまったら、次のような計算なんて、どっちで答えを書けば良いのかよく分かりません。

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 7 & 9 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

この後の「行列の掛け算」なども行列の足し算・引き算を基に考えられているので、それら全てに同じような曖昧さを与えてしまいます。

だから、「型が異なる場合は足し算・引き算できない」と定義しているのです。

くるる
くるる

結局、「そういうもの」ってことっすか?

そういうことです。

先生
先生

まとめ

今回は「行列の足し算・引き算」について解説しました。

足し算・引き算は出来るのが当たり前なので、必ず習得するようにしましょう。といっても、多分簡単ですよね。

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