階段行列を簡単に解説!

階段行列

こんにちは、くるです。今回は「階段行列」について簡潔に解説します。

階段行列とは?

階段行列とは「上の行の主成分が下の行の主成分よりも左側にある行列」です。(主成分:行の$0$以外の一番先頭の数字)

要は数字が階段状に並んでいる行列が階段行列ですね。

階段行列の例

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

逆に次のような行列は階段状になってないので階段行列ではありません。

階段行列でない例

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

「上の行の主成分が下の行の主成分よりも左側にある」という条件さえ満たしていれば階段行列です。

先生
先生

階段行列の作り方

階段行列は「行基本変形」を使って作ります。簡約化みたいな感じです。

例えば、$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

を階段行列に変形する過程は以下の通りです。

階段行列を作る過程

このように階段状になっていれば階段行列といえます。「主成分が$1$である」とか、「正方行列である」などの条件はありません。

くるる
くるる

なるほどっす!

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