行列のランクを簡単に解説!

行列のランク

こんにちは、くるです。今回は「行列のランク」について解説します。

行列のランクとは?

ランクとは「階段行列の零ベクトルでない行の数」です。ある行列$A$のランクを$rank(A)$と表します。

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad rank(A)=1$$

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad rank(A)=2$$

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad rank(A)=3$$

ランクの求め方を説明します!

先生
先生

ランクの求め方

ランクを求めたかったら、とにかく階段行列を作ってください

階段行列とは「上の行の主成分が下の行の主成分よりも左側にある行列」です。(主成分:行の$0$以外の一番先頭の数字)

そして、なぜ階段行列という名前かというと、次のように段差になってるからです。

階段行列を作るには「行基本変形」を使います。

例えば、

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

を階段行列に変形する過程は次のようになります。

よって、$rank(A)=3$です。

ランクを求める時の注意点

ランクを求める手順が「簡約化」をしているように見えるかもしれませんが、これは簡約化ではありません。階段行列を求めているだけです。

あと、「階段行列のランク=簡約行列のランク」なので、ランクを求めるためだけに「簡約化」をする必要はありません。

今回の例で言えば、行基本変形を進めることで、

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

というように簡約行列に変形できますが、$rank(A)=3$に変わりはありませんよね。

つまり、ランクを求めたいだけなのに、いちいち簡約化をするのは時間の無駄なのです。

「階段行列を作るだけで良い」のだとしっかり理解しましょう。

先生
先生
くるる
くるる

なるほどっす!

まとめ

今回は「行列のランク」について解説しました。

ランクはそんなに重要度は高くないですが、色んな場面で出てくる概念なので、覚えておきましょう。

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